光的干涉条件与条纹可见度

一句话结论：两束光要形成清晰条纹，需同频率、相位差稳定、偏振不正交、光程差小于相干长度；缺一项，可见度就按确定规律下降。

把两束光叠在一起，条纹为什么没出现

先做一个很容易失败的实验。把两支激光笔同时照向同一面白墙，两个光斑重叠的区域确实更亮，可你看不到任何明暗条纹。换成一只白炽灯照双缝，屏上还是一片模糊的光晕。教科书上的双缝图样明明那么规整，为什么自己一动手就不见了？

问题不在"光会不会干涉"这种层面上。波动光学里，干涉是叠加的必然结果；麻烦的是真实光源要同时满足一串条件，条纹才会出现并且保持清晰。任意一条被破坏，条纹对比度就往下掉，破坏得彻底时条纹干脆消失，看上去就像光根本不会干涉。

把这些条件列出来，大致有五条：频率要一致而且光程差不超过相干长度、相位差在观测时间内要稳定、偏振方向不能正交、光源尺寸要受空间相干限制、两路强度要接近。下面逐条看它们各自管什么，以及被破坏时条纹会变成什么样。

相位差：明暗条纹从哪来

两列波在同一处相遇，合振幅是两者之和，这件事本身不需要任何附加条件。真正决定亮暗的是相位差 \(\delta\)。设两束光强度分别为 \(I_1\)、\(I_2\)，叠加后的强度为

最后一项是干涉项，它随 \(\delta\) 周期变化，干涉条纹的全部信息都藏在里面。相位差是 \(2\pi\) 的整数倍时，\(\cos\delta=1\)，两波步调一致，强度取极大；相差 \(\pi\) 的奇数倍时，\(\cos\delta=-1\)，两波正好反着走，强度取极小。两路强度相等时，极大是单束光的四倍、极小为零，条纹最黑白分明。

图 1：两列同波长、同振幅波的叠加。(a) 完全同相时波峰对波峰、波谷对波谷，振幅相加，是纯相长干涉；(b) 恰好反相、相差半个波长时，一列的波峰正对另一列的波谷，合振幅相减，是纯相消干涉。

真空里相位差由光程差决定，\(\delta = 2\pi\Delta L/\lambda\)。也就是说，想控制明暗，本质上是在控制两束光走过的路程差。这一点后面反复用到。

条件一：频率相同，且光程差不超过相干长度

理想的单色光只有一个波长，光程差固定，相位差就固定，条纹可以一直延伸到无穷远。真实光源做不到这一点。任何光源都有有限谱宽 \(\Delta\lambda\)，其中每个波长对应的相位差都略有不同：同一个光程差 \(\Delta L\)，对 \(\lambda\) 是整数倍波长，对邻近的 \(\lambda'\) 就可能差出小半个波长。波长成分各自形成一套条纹，彼此错开叠加，错位超过半个条纹间距时，一组的亮纹正好压在另一组的暗纹上，整体就被抹平了。

衡量"还能容忍多大光程差"的量叫相干长度 \(L_c\)，它和谱宽的关系是

推导思路并不复杂：谱宽对应的频率展宽是 \(\Delta\nu\)，而时间带宽积给出 \(\Delta\nu\Delta t \ge 1\)，\(\Delta t\) 就是相位关系还能维持的时间，乘上光速即得相干长度。上式的量纲是 \([\text{m}^2]/[\text{m}]=[\text{m}]\)，可以直接代入数字感受量级差别。

• 白光：取 \(\lambda=550\) nm、\(\Delta\lambda\approx300\) nm，\(L_c=550^2/300\ \text{nm}\approx1.0\ \mu\text{m}\)。白光相干时间只有约十个光周期，所以在迈克尔逊干涉仪里，只有两臂光程差回到零附近那几条条纹看得见。
• 普通绿色激光笔：\(\lambda=532\) nm、\(\Delta\lambda\approx0.1\) nm，\(L_c\approx2.8\) mm。
• 钠灯双线 589.0/589.6 nm：\(\Delta\lambda=0.6\) nm，\(L_c\approx578\ \mu\)m。
• 稳频单频激光，线宽 1 MHz：\(L_c=c/\Delta\nu=3.0\times10^{8}/10^{6}=300\) m。多模氦氖激光的相干长度只有厘米量级，纵单模激光器可以超过 1 km，半导体激光器通常在百米上下。

图 2：白光照明迈克尔逊干涉仪。(a) 镜式分束镜结构，需要补偿板把两臂光程拉平，两束光经历的分束面次数不同、相位反转次数也就不同，对应零光程差的中心条纹是暗纹；(b) 立方分束镜结构。白光相干长度只有微米量级，所以只有光程差接近零时才看得到少数几条彩色条纹，稍一偏离就只剩均匀照明。

所以"同频率"这条条件，落到工程上就是一句可操作的判据：把两束光的光程差控制在相干长度以内。相干长度多长，取决于你能容忍多脏的频谱。

条件二：相位差要在观测时间内保持稳定

频率一致还不够，相位差本身得稳住。两个独立光源，哪怕它们是同型号的激光器，各自的相位也在独立地随机漂移。探测器在这段时间里积分，\(\cos\delta\) 的正负被平均掉，干涉项归零，屏上只剩 \(I_1+I_2\) 的均匀亮斑。这解释了两支激光笔对着墙照为什么没有条纹。

要让相位差稳定，通常的办法是把一束光分成两束再合回来。双缝实验中，光先经过单缝 \(S_0\)，再由 \(S_1\)、\(S_2\) 分出两束，两者同源，相位差由几何路程唯一确定。分束镜、迈克尔逊干涉仪、马赫－曾德尔干涉仪走的都是同一条路子：先分，后合，保证两路带着同一次相位起伏。

这里和相干时间有个呼应。相位关系能维持的时间长度与相干长度一一对应，探测器积分时间必须短于它，否则即使光源本身很纯，长时间平均依旧会把条纹洗掉。

条件三：两束光的偏振方向不能正交

这条最容易在实验室里踩坑。经典情形下，两束光必须有相同的偏振方向才能形成条纹；偏振互相垂直的两束光叠加，得到的只是另一种偏振态，不会相长也不会相消。

原因用矢量投影就能看清。把两个电场矢量都投影到公共的偏振方向上，再相加，干涉项自然带上一个 \(\cos\theta\) 因子，\(\theta\) 是两束光偏振方向的夹角。两路强度相等时，条纹可见度就是

夹角为零，可见度满值；转 45°，可见度降到 0.707；转到 90°，可见度归零，条纹彻底消失。实际调光路时，如果干涉仪里插了偏振敏感元件（比如某些镀膜分束镜、光纤），两路偏振态不一致，条纹对比度就会莫名变差，加一片偏振片把两路调到同一方向常常能立刻救回来。

非偏振光或自然光更麻烦：它的偏振方向在相干时间之内就随机变化，根本不存在一个固定的 \(\theta\)，条纹自然建立不起来。

条件四：光源尺寸受空间相干限制

前面三条讲的是"同一束光沿不同路径"的时间相干问题，换成双缝，还要多一道关卡。双缝要干涉，两条缝处的光场必须共享一个确定的相位关系，这叫空间相干。

理想点光源到两条缝的距离固定，相位关系是确定的。把光源做成有宽度的面光源，情况立刻变了：光源上每个点都独立发光，各自在屏上生成一套条纹，而不同点产生的条纹有横向位移。位移量超过半个条纹间距，彼此的亮暗就互相填补，合成图样趋于均匀。

定量判据可以从相干面积出发。距非相干光源 \(z\) 处，相干面积为 \(A_c=\lambda^2 z^2/A_s\)；对边长 \(s\) 的方形光源，横向相干长度就是 \(l_c=\lambda z/s\)。要求这个长度至少覆盖两条缝的间距 \(a\)，即 \(l_c \ge a\)，得到临界光源宽度

代入一组和实拍照片一致的数字：\(\lambda=532\) nm、光源到双缝距离 \(z=0.5\) m、缝距 \(a=0.4\) mm，\(s_c\approx0.67\) mm。光源缝窄于约三分之二毫米，条纹才清楚；要是直接拿几毫米宽的灯丝照双缝，条纹一定糊掉。换一个角度，把光源宽度的要求写成角尺寸，就是 \(\theta_s < \lambda/a\)，本例对应约 \(1.3\times10^{-3}\) rad，也就是 0.08° 上下。

图 3：有限尺寸光源发出的光经针孔后，横向相干范围是有限的——只有落在这个相干范围内的两点才具有稳定的相位关系。把光源做小、或者把针孔做小，都是为了提高空间相干性。

这条判据在天文上有漂亮的用法。恒星是巨大的非相干光源，干涉条纹的可见度会随两孔间距增大而下降，下降的曲线里带着恒星的角直径。均匀圆盘光源的可见度写成 \(V=2J_1(\pi\alpha x/\lambda)/(\pi\alpha x/\lambda)\)，其中 \(\alpha\) 是角直径、\(x\) 是两孔间距；可见度掉到 0.88 时对应 \(\pi\alpha x/\lambda=1\)。拿太阳试算，角直径约 0.5°、\(\lambda=550\) nm，相干直径只有约 20 μm，这也正是早期恒星干涉测角必须用大基线的原因。

条件五：两路强度要接近

前四条决定了条纹能不能出现，最后这条决定条纹好不好看。把 \(I_{\max}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}|\gamma|\)、\(I_{\min}=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}|\gamma|\) 代进可见度定义，得到

两路强度相等时 \(V=|\gamma|\)，可见度完全由相干度决定。强度一旦失衡，暗纹就再也压不到零：比值 4:1 时可见度只有 0.8，比值 100:1 时掉到 0.2 以下，条纹看上去像一片缓慢起伏的亮场。分束镜分束比不理想、两块反射镜反射率差得多，都会造成这种退化。想找回对比度，用中性密度滤光片把强的一路压下来，比一味增加激光功率有效得多。

把五个条件合起来：条纹可见度

把上面的东西收在一个数里，就是条纹可见度

它取 1 表示黑白分明，取 0 表示完全看不出条纹。各个条件独立退化时，可见度近似按乘积下降：

\(F_{\text{空间}}\) 是光源尺寸带来的空间相干因子，\(|\gamma|\) 是谱宽与光程差决定的时间相干因子。这条乘积形式很好用：任何一项接近零，整体就归零，修光路时按从大到小逐项排查即可。

表 1：干涉的五个条件、定量判据与破坏后的表现。

条件都凑齐之后，双缝图样长这样：中央一条亮纹，两侧明暗交替，间距基本均匀。照片里的绿色条纹来自缝宽 0.1 mm、缝距 0.4 mm 的双缝。按 \(\Delta y=\lambda L/d\)，取屏距 \(L=1\) m、\(\lambda=532\) nm、\(d=0.4\) mm，条纹间距约 1.33 mm，对着照片量级相符。

图 4：绿色激光通过缝宽 0.1 mm、缝距 0.4 mm 的双缝后，在屏上形成的明暗相间条纹。五个条件同时满足时，条纹就是这种规整的周期结构；任何一条退化，边缘条纹会先变淡，再逐级向中心收缩直至整体消失。

常见误解

误以为只要是激光，相干性就一定好。 实际上相干长度由谱宽决定，和"是不是激光"没有必然关系。多模氦氖激光的相干长度只有厘米量级，半导体激光大约百米，只有纵单模或稳频激光才能做到公里量级。做长光程干涉之前，先查光源的线宽更靠谱。

误以为偏振只影响亮度，不影响条纹。 实际上两束光的偏振方向正交时，干涉项直接为零，条纹彻底消失；夹角为 \(\theta\) 时，可见度按 \(|\cos\theta|\) 下降。干涉仪里出现"条纹莫名其妙变差"的情况，偏振不匹配是很常见的原因。

误以为白光完全不能干涉。 实际上白光的相干长度在微米量级，光程差回到零附近时照样形成清晰的彩色条纹，肥皂膜、油膜的彩色就是这么来的。白光的问题在于可用的光程差窗口极窄，不是不能干涉。

误以为条纹不清晰是光不够强，加大功率就行。 实际上强度只决定亮度。两路强度失衡会直接拉低可见度，比值 4:1 时可见度就降到 0.8。条纹变淡时应该依次检查谱宽与光程差、偏振方向、光源尺寸，而不是先拧激光功率旋钮。

参考资料

• 3.1 Young's Double-Slit Interference — University Physics Volume 3，OpenStax, Rice University，CC BY 4.0。
• Coherence (physics) — Wikipedia，CC BY-SA 4.0。
• Coherence length — Wikipedia，CC BY-SA 4.0。
• Interferometric visibility — Wikipedia，CC BY-SA 4.0。
• Interference (wave propagation) — Wikipedia，CC BY-SA 4.0。
• Optics 505 Lecture Notes: Coherence，James C. Wyant, University of Arizona, College of Optical Sciences。
• Coherence — RP Photonics Encyclopedia，Dr. Rüdiger Paschotta。
• File:Young's slits.jpg — Wikimedia Commons，Graham Beards，CC BY-SA 4.0。
• File:Spatial coherence pinhole.png — Wikimedia Commons，J S Lundeen，CC BY-SA 3.0。
• File:Michelson interferometer using white light.png — Wikimedia Commons，Stigmatella aurantiaca，CC BY-SA 3.0。