斯托克斯参数与偏振测量：线偏振测量与加波片测量的区别

一句话结论：斯托克斯参数都是强度组合；只转检偏器只能定出总强度和两个线偏振分量，测圆偏振分量必须加四分之一波片。

从一条测不出圆偏振的曲线说起

一束激光打过来，想知道它到底属于哪种偏振态：是线偏振、圆偏振，还是椭圆偏振？偏振方向朝哪？圆偏振占多大比例？最直接的做法是装一片检偏器，转一圈看透射光强怎么变。

线偏振光给出按 cos²θ 起伏的曲线，极大和极小的位置与方向有关；圆偏振光和自然光却都给出同一条水平线，停在总光强的一半。可这两种状态差别极大：前者完全偏振，后者完全不偏振。用这条曲线的最大值 Iₘₐₓ 和最小值 Iₘᵢₙ 计算常用的偏振度

P = (Iₘₐₓ − Iₘᵢₙ) / (Iₘₐₓ + Iₘᵢₙ)，

理想器件下圆偏振和自然光都得到 P=0。这说明“转检偏器 + 一个功率计”这套测量把一部分信息丢掉了，而不是信号太弱或算法不够好；曲线形状里没有的自由度，换多少角度也补不回来。

为什么不能直接测相位或振幅？可见光频率约 5×10¹⁴ Hz，没有探测器能跟上电场振荡，我们能记录的只有时间平均后的强度。描述偏振态的量最好本身就是强度组合，而不是振幅或相位——这样每一个量都能用功率计直接读出，不需要以某个“已知相位”作参照。

斯托克斯参数就是这样的四个量。它们由电场分量的平方与乘积的时间平均构成，量纲是光强；四个数一起能完整描述一束准单色光的偏振态（完全偏振时只有三个独立量，部分偏振时第四个量给出偏振度），并且分别对应“水平与竖直线偏振谁更强”“±45° 线偏振谁更强”“左旋与右旋圆偏振谁更强”。这组量还能画在庞加莱球上，波片和检偏器的作用变成球面上的旋转与投影，测量方案缺了哪一维一眼就能看出来。

斯托克斯参数：四个强度组合

斯托克斯参数（Stokes parameters）用四个实数描述一束准单色光。设光沿 z 传播，横向电场的 x、y 分量写成 E_x=a_x e^{iφ_x}、E_y=a_y e^{iφ_y}，相位差 δ=φ_y−φ_x，尖括号表示对远大于光学周期的时间平均。四个参数定义为

S₀ 是总光强；S₁ 比较 x 与 y 两个线偏振分量的强弱；S₂ 比较 +45° 与 −45° 两个线偏振分量；S₃ 比较右旋与左旋圆偏振分量。四个量都是电场分量的平方或乘积再取平均，量纲都是光强，没有一个是相位本身——所以它们都能用功率计读出来：只要在探测器前放上能选出某个分量的器件，读到的就是这些组合中的一项。

对完全偏振光，S₀²=S₁²+S₂²+S₃²；对部分偏振光，右边小于左边，差值来自与偏振方向无关的那部分光。把偏振部分的大小除以总光强，得到总偏振度 DOP=√(S₁²+S₂²+S₃²)/S₀；只取线偏振部分，得到线偏振度 DOLP=√(S₁²+S₂²)/S₀；偏振方位角是 ψ=½ arctan(S₂/S₁)。圆偏振光的 DOLP 为零，所以开头那条水平线读出的正是 DOLP，而不是 DOP。

图 1：两个正交、等幅分量在不同相位差 ΔΦ 下合成的偏振态。ΔΦ=0 与 π 是线偏振，π/2 与 3π/2 是圆偏振，其余是椭圆偏振；S₁、S₂、S₃ 的作用，正是用强度组合把这几种状态区分开。

把四个参数按 S₀ 归一化，得到 (s₁, s₂, s₃)=(S₁, S₂, S₃)/S₀。以这三个数为直角坐标，所有可能的偏振态落在半径为 DOP 的球内：完全偏振在球面，部分偏振在球内，完全非偏振在球心。这个球叫庞加莱球。

三个坐标轴各有明确的物理含义，也对应三种“正交分量对”的强度差：

• S₁ 轴：+1 端是水平线偏振（H），−1 端是竖直线偏振（V）。坐标值正比于 |E_x|²−|E_y|²，衡量 x 与 y 两个线偏振分量的强弱差；赤道上靠近 H 的点，x 分量占优。
• S₂ 轴：+1 端是 +45° 线偏振（D），−1 端是 135° 线偏振（A）。它衡量 ±45° 两个线偏振分量的强弱差，与 S₁ 一起确定偏振椭圆的方位。
• S₃ 轴：+1 端是右旋圆偏振（R），−1 端是左旋圆偏振（L）。它衡量两个圆偏振分量的强弱差；赤道面上 S₃=0，对应所有线偏振态。

球面上一点还可以用两个角描述：经度 2ψ（ψ 是偏振椭圆的方位角），纬度 2χ（χ 是椭圆率角，tanχ=±b/a，b、a 是椭圆的短半轴与长半轴）。赤道（χ=0）是线偏振，南北极（χ=±45°）是圆偏振，中间是椭圆偏振。S₁、S₂、S₃ 正是这个单位矢量在三个轴上的投影：s₁=cos2χ cos2ψ，s₂=cos2χ sin2ψ，s₃=sin2χ。部分偏振态的半径小于 1，半径就是 DOP。

球面图不只是好看：波片对偏振态的作用，在球面上就是绕某条轴的旋转。快轴沿 x 的四分之一波片（延迟量 90°）把球绕 S₁ 轴转 90°，S₂ 与 S₃ 互换——原本落在 S₃ 轴上的圆偏振，被转到赤道上的线偏振，于是可以用检偏器读出来。这就是“加波片测圆偏振”的几何版本，第四节会回到这个图像。检偏器的作用则是把态投影到赤道面：转检偏器只能看到 S₁、S₂ 的组合，看不到 S₃，因为投影把垂直于赤道的分量丢掉了。

图 2：庞加莱球把归一化斯托克斯参数 (S₁, S₂, S₃) 当作直角坐标。球面上 H（水平线偏振）与 V（竖直线偏振）在 S₁ 轴两端，D（45° 线偏振）与 A（135° 线偏振）在 S₂ 轴两端，R（右旋圆偏振）与 L（左旋圆偏振）在 S₃ 轴两端；球内的点表示部分偏振，点到球心的距离对应 DOP。

球面图把四个数画在一起，方便看哪个态在哪个方向，但它本身不产生测量结果。球面上任意一点的坐标，仍然要回到实验室里用强度读数定出来。接下来要回答的是：转检偏器能定出哪几个坐标，缺的那个坐标要靠什么器件补。

只转检偏器：只能定出三个参数

检偏器的透振方向与 x 轴成 θ 角时，只让电场沿这个方向的分量通过。探测器读到的强度是这个分量的模平方对时间的平均：

式子里没有 S₃。这不是被近似丢掉的：线检偏器的投影只涉及 E_x 与 E_y 的同相组合，圆偏振的两个分量相差 90°，投影后的交叉项在时间平均里为零。

取 0°、45°、90°、135° 四个角度，读数分别是 ½(S₀+S₁)、½(S₀+S₂)、½(S₀−S₁)、½(S₀−S₂)，于是

S₀=I(0°)+I(90°)，S₁=I(0°)−I(90°)，S₂=I(45°)−I(135°)。

这三个式子不需要知道入射光是什么态，也不需要拟合。实际测量里还有一条免费的检查：理想情况下 I(0°)+I(90°)=I(45°)+I(135°)=S₀。两组和相差超过噪声，通常说明检偏器角度没对准、光源在扫描期间漂移，或者探测器在某个角度饱和——它不能指出是哪一种，但能阻止把一个已经出问题的数据集当成好数据去反演。

四个读数看起来给出四个方程，为什么解不出第四个参数？把测量写成矩阵会更清楚：每一次读数对应矩阵的一行，行向量是 ½(1, cos2θ, sin2θ, 0)。无论 θ 取多少，最后一列都是零，四个行向量只张成三维空间，S₃ 落在零空间里。两束只在 S₃ 上符号相反的光，例如 (1, 0.3, 0.4, 0.5) 与 (1, 0.3, 0.4, −0.5)，在所有检偏角下给出完全相同的读数。任何拟合、平均或增加采样点都无法把它们分开，因为测量方案本身没有记录这个区别。

这就是线偏振测量的边界：它能给出总光强、线偏振度和方位角，分不出圆偏振与自然光。对只关心线偏振的任务，这个边界不是问题；对手性介质、圆二色性或法拉第旋转这类信号，缺的恰好是要测的那一项。

加一片四分之一波片：把 S₃ 转进可测平面

圆偏振的两个分量振幅相等、相位差 90°。如果能在检偏之前把其中一个分量再延迟 90°，两个分量就变成同相或反相，合成线偏振；这时再转检偏器，就会出现完整的明暗调制。四分之一波片（quarter-wave plate，QWP）做的就是这件事：快轴与慢轴之间引入 90° 相位差。

图 3：方解石的双折射。一束光进入各向异性晶体后分成传播速度不同的两束，波片正是利用这种速度差，让两个正交分量在出射时积累不同的相位。

波片用双折射晶体（石英、方解石、云母）或液晶制作，厚度 d 与双折射率差 Δn 决定延迟量 Γ=2πΔn d/λ。要让 Γ=90°，d 必须精确到波长量级；这也是波片按波长标称、并对入射角敏感的原因。

图 4：线偏振光通过四分之一波片，两个正交分量被引入 90° 相位差，合成圆偏振。

图 5 画出了测量链路的顺序：待测光先经过可插入的 QWP，再经过可旋转的检偏器，最后由功率计读数；右侧的横向平面图给出角度约定，x 轴是 QWP 快轴的方向，检偏角 θ 从 x 轴量起。

图 5：测量链路的顺序与角度约定。待测光依次经过可插入的四分之一波片（快轴沿 x）、可旋转的检偏器和功率计；虚线框表示只在测 S₃ 时插入波片。右侧是迎着光束看的横向平面：x 轴为 QWP 快轴方向，y 轴为慢轴方向，检偏器的透振轴与 x 轴成 θ 角，θ 从 x 轴逆时针量起。

把 QWP 的快轴沿 x 轴放置、慢轴沿 y 轴，入射场经过波片后变成 (E_x, iE_y)。再让检偏器分别停在 45° 和 135°，读数为

I′₄₅=½(S₀−S₃)，I′₁₃₅=½(S₀+S₃)，

于是 S₃=I′₁₃₅−I′₄₅。这两次读数还把 S₀ 再测了一遍：I′₄₅+I′₁₃₅=S₀。如果波片理想、快轴确实沿 x，这个和应当与无波片时的 I(0°)+I(90°) 一致；不一致就说明波片有吸收、快轴没对准，或者两次测量的光强基准变了。

符号需要单独说明。上式取 S₃=2⟨E_xE_y sinδ⟩、δ=φ_y−φ_x，所以 δ=+90° 对应 S₃>0；但“右旋”还是“左旋”取决于观察者迎着光看还是顺着光看，不同教材并不统一。稳妥的做法是先用一个手性已知的圆偏振源定标：让线偏振光以 45° 入射到快轴沿 x 的 QWP，出射就是圆偏振；记下此时 I′₁₃₅−I′₄₅ 的符号，再把这个符号与“右旋/左旋”的命名对应起来。只凭公式里的正负号判断左右旋，换一本书或换一台仪器就可能把符号弄反。

波片快轴也可以放在 45°。这时映射关系改变：0° 与 90° 那一对检偏读数给出 S₃，45° 与 135° 那一对给出 S₂。两种放法在数学上都成立，但标定必须跟着放法走，不能把“快轴沿 x”的公式套到“快轴沿 45°”的光路上。

一个容易产生的误解是：既然加了波片就能测圆偏振，那么加波片以后扫一遍就够了。实际并非如此。快轴沿 x 时，45°/135° 这一对确实给出了 S₃，但原来由 45°/135° 承担的 S₂ 被换掉了。对一束 45° 线偏振光（S₂=S₀），经过 QWP 后变成圆偏振，再转检偏器，读数是一条 0.5 的水平线——它在这组配置里反而“消失”了。无波片的那一对读数能看见它，有波片的那一对看不见；反过来，有波片的那一对能看见圆偏振，无波片的那一对看不见。两组扫描合起来，四个参数才齐。

图 6：按精确公式计算的归一化透射强度，横轴为检偏角 θ。(a) 只用检偏器时，线偏振 0° 与线偏振 45° 分别按 cos²θ 与 sin²θ 起伏，圆偏振与自然光都停在 0.5，两条曲线重合；(b) 在检偏器前插入快轴沿 x 的四分之一波片后，圆偏振变成随 θ 起伏的曲线，在 45° 降到 0，而线偏振 45° 变成 0.5 的水平线，自然光仍是水平线。

图 6 把两件事放在一起看：(a) 里圆偏振和自然光不可分，(b) 里它们分开了，但线偏振 45° 又和自然光重合。单次扫描最多只能把四个态分成三类，必须把两组读数拼起来，才能把四个态逐一分开。这也是偏振测量里常见“旋转检偏器”和“旋转波片”两套方案的原因：两套方案各有盲区，合起来才覆盖四个参数。

表 1：两种测量配置的分工与盲区。

把测量写成矩阵：秩、条件数与标定

把六次读数排成列向量 I，四个斯托克斯参数排成 S，测量链路写成 I=½AS。对本文的配置（检偏器 0°、45°、90°、135°，再加 QWP 后的 45°、135°），理想矩阵是

前四行只碰 S₀、S₁、S₂，最后两行只碰 S₀、S₃。六行合起来秩为 4，方程可解；只取前四行，秩为 3，S₃ 对应零空间，没有唯一解。这就是“线偏振测量”和“完整偏振态测量”在矩阵层面的区别，而不是精度高低或算法好坏的差别。

六次测量比四次多，带来的不只是“多两个数”。用最小二乘解 S=(AᵀA)⁻¹AᵀI，这个 6×4 矩阵的条件数约为 1.73；如果只取 0°、45°、90° 和 QWP 后 45° 这四行，条件数约为 3.23。条件数描述输入误差被放大多少：超定方程用最小二乘时，解的相对误差由 A 的条件数控制。两倍的差距不算天壤之别，但它说明“多测两个角度、让行向量分布得更均匀”确实能让反演对噪声更钝感。角度全挤在 0° 附近时，条件数会迅速变坏，甚至接近奇异；这时候再增加采样点也救不回来。

真实器件的矩阵不会这么整齐。波片延迟量不是精确的 90° 时，最后两行要写成 (1, 0, cosΓ, −sinΓ) 和 (1, 0, −cosΓ, sinΓ)；检偏器有泄漏时，每一行还要加一个小的正交分量；探测器的暗电流会给所有行加同一个偏置。标定的任务就是把这些实际值测出来填进 A，而不是把厂家标签上的“λ/4”直接当成 90°。一个可操作的顺序是：

1. 暗场与增益：挡住光源记录偏置，之后每次读数先减掉；再用已知强度的光源检查线性，避免探测器饱和。
2. 检偏器零点与消光比：用已知线偏振光转检偏器找极大极小，拟合 I(θ)=Iₘᵢₙ+(Iₘₐₓ−Iₘᵢₙ)cos²(θ−θ₀)，得到角度零点 θ₀ 和消光比。消光比 500:1 时，正交位置仍透过约 0.2% 的光，测高偏振度样品时这就是误差下限。
3. 波片快轴与延迟量：以已知线偏振光入射，测一组波片角度下的透射曲线，同时拟合快轴方位与 Γ；必须在工作波长上测，不沿用标签波长。
4. 填充矩阵并求逆：把实测的 θ₀、消光比、Γ、快轴方位代入 A，再做最小二乘；也可以直接用四个已知偏振态（0°、45°、90° 线偏振加一个圆偏振）标定 A，不必逐项拆解器件参数。
5. 独立校验：用一个没参与标定的偏振态检查残差，残差应与重复测量的噪声同量级；残差明显偏大，通常说明模型漏了一项，例如波片吸收或探测器非线性。

第 2 步和第 4 步最容易被跳过，因为器件看起来“标称就是那个值”。但偏振测量对相位和角度都敏感，标称值与实际值之间几度的差别，足以让 S₃ 通道混进本来不属于它的信号。

一个完整案例：85% 圆偏振的光被读成 30% 线偏振

取一束部分偏振光，真实斯托克斯参数为 (S₀, S₁, S₂, S₃)=(1.000, 0.180, 0.240, 0.800)。它满足 S₁²+S₂²+S₃²=0.730<1，不是完全偏振；按定义算得 DOP=0.854、DOLP=0.300、方位角 ψ=26.6°。这束光的大部分能量落在圆偏振分量上，线偏振度只有 0.30。

六次理想读数是 (0.590, 0.620, 0.410, 0.380, 0.100, 0.900)。给每个读数加独立高斯噪声，标准差取 0.003（约总光强的 0.3%），得到 (0.5849, 0.6192, 0.4078, 0.3800, 0.1006, 0.8978)。直接反演的结果如下：

表 2：真值与含噪反演对比。噪声标准差 0.003；5000 次重复下 S₁、S₂、S₃ 的蒙特卡罗标准差约 0.004，DOP 约 0.006。

如果只做线偏振测量，手里只有前四个读数，能算出 S₀=0.9926、S₁=0.1771、S₂=0.2392，于是 DOLP=0.300、方位角 26.6°。这个结果对线偏振部分并没有算错，只是没有能力说明剩下的光强在哪里。把 DOLP 当成 DOP 写进报告，就会把一束 85% 偏振的光说成“30% 偏振”；如果这束光来自手性样品或磁光介质，被漏掉的 S₃ 恰好是要测的信号。

图 7：真实值与含噪反演的对比。(a) 总光强 S₀ 单独放大纵轴，真值 1.0000、反演 0.9926；(b) 三个偏振分量 S₁–S₃，误差棒为 5000 次重复的 1σ（约 0.004）。只做线偏振测量时，S₃ 根本没有进入方程。

这个案例说明的差别不在数值精度，而在“方程里有没有这一项”。线偏振测量把 S₃ 当成零，等于先验地假设入射光没有圆偏振分量；当这个假设不成立时，反演结果不会报错，只会给出一个不完整的答案。

误差从哪来：波片延迟量、快轴方位与波长

波片延迟量偏离 90° 时，S₃ 通道会混进 S₂：把 Γ 代回读数式得到 S₃′=S₃ sinΓ−S₂ cosΓ。Γ=90° 时 cosΓ=0，S₃′=S₃；Γ=85° 时 cosΓ≈0.087、sinΓ≈0.996，对一束 45° 线偏振光（S₂=S₀、S₃=0），表观圆偏振是 S₃′≈−0.087S₀，也就是约 8.7% 的假圆偏振。这里的“假”是相对于“把波片当成理想 90° 去反演”而言；如果已经测出 Γ=85° 并填进矩阵，这一项可以在反演中扣掉，代价是 S₂ 与 S₃ 的误差互相传递、条件数变差。实际测量里更常见的做法是换一片在工作波长上真正接近 90° 的波片，而不是在反演里硬扣。

波长偏离标称值会把延迟量整体拉走。零级波片的延迟量近似与波长成反比，Γ(λ)≈90°·λ₀/λ。一片标称 633 nm 的四分之一波片用在 532 nm 上，延迟量约为 107°，cosΓ≈−0.29；同样对 45° 线偏振光，表观圆偏振达到 29%。这不是波片损坏，而是标签上的波长条件没有被满足。多级波片对波长更敏感，消色差波片把这一段压平，代价是结构更复杂、成本更高。

快轴方位也会泄漏。把 QWP 的快轴从 x 轴转偏 2°，反演 S₃ 的那一行会多出约 0.07 的 S₁ 系数，也就是约 7% 的 S₁ 会混进 S₃ 通道；转偏 5° 时这个系数增加到约 0.17。对 S₁ 很大、S₃ 很小的样品（例如弱磁光信号），这点泄漏可能比待测信号还大。检偏器角度也有类似效应：角度偏 1°，S₂ 会以 sin2°≈3.5% 的权重混进 S₁。

探测器的影响分两种。加性偏置（暗电流、环境光）给所有行加同一个常数，主要污染 S₀，把 DOP 往下拉；乘性增益误差按同一比例缩放所有读数，对 DOP 和方位角影响较小，但会改变绝对光强。检偏器的有限消光比则在正交位置留下一个底，对高偏振度、低 S₃ 的测量最不利。把这些项分开看，才能判断一次测量里哪一项是主要误差。

什么时候只测线偏振就够

线偏振测量不是“不完整所以不能用”，它在很多任务里正好够用，前提是 S₃ 确实可以忽略，或者任务本来只问线偏振。

天空散射与偏振导航。 太阳光被大气分子散射后，天空背景光以线偏振为主，偏振方位角与太阳位置有确定的几何关系。测量任务是得到 DOLP 和 AoP，不需要圆偏振；典型做法是用三个或四个方向的线检偏器（或一片旋转检偏器加相机），按 0°、45°、90° 读出 S₀、S₁、S₂。条件是散射光中圆偏振分量确实很小；多次散射、云层和地面反射会改变这一点，所以 DOLP 低的时候，把 S₃=0 当成已知要谨慎。

光弹应力与双折射测量。 透明样品在应力下产生线性相位延迟，正交偏振片之间出现条纹；测量任务是把延迟量换算成应力或光程差。这里用到的仍是 S₁、S₂，圆偏振分量不是主角。这一类任务的测量矩阵同样只覆盖三个参数，但被测对象给的是线性相位延迟，不需要 S₃ 参与反演，所以不构成缺口。

手性介质、圆二色性与磁光效应。 这些任务的信号常常是“很大的 S₀ 上叠着一个很小的 S₃”。例如手性分子对左旋和右旋圆偏振的吸收略有差别，磁光介质让线偏振面旋转一个很小的角度。要测的就是 S₃ 或 S₃ 随波长/磁场的变化，必须加波片，而且对消光比、波片延迟量和快轴方位的要求比测线偏振高得多。此时“只测线偏振”的问题不只是少一个参数：目标信号根本没有进入方程。

偏振相机。 很多线偏振相机在焦平面每个像素上铺 0°、45°、90°、135° 四个微检偏器，一次曝光就得到四个方向的强度。按前面的矩阵，它的测量矩阵只有三列非零，秩为 3，输出的是 S₀、S₁、S₂，也就是 DOLP 和 AoP。这类相机适合表面反射、去雾、三维重建等以线偏振为主的任务；要得到完整斯托克斯参数，只在相机前加一片固定波片还不够：四个固定检偏通道加上这片波片，行向量仍然只张成三维空间。需要让波片在多次曝光之间改变方位或延迟量（例如旋转波片、液晶可变延迟器），或者采用能同时产生四种不同分析的架构。知道它的矩阵秩，就不会把“偏振相机”误当成“什么偏振都能测”。

回到开头的问题：一束光的偏振态有四个强度型参数，而一台功率计一次只读一个数。只转检偏器，测量矩阵的秩是 3，缺的那一维是 S₃；加一片 QWP，把 S₃ 转到 S₂ 的位置，再用另一对角度读一次，矩阵才满秩。先判断任务缺哪个参数，再决定要不要加波片、加在什么角度、按什么顺序标定，比记住某一组公式更有用。

参考资料

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2. Physical Optics (Tatum), 4.1 Polarized Light and the Stokes Parameters — LibreTexts
3. Polarization and Polarimetry: A Review — S. Trippe, JKAS 47, 15–39 (2014)；DOI
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