光学与光子学
爱因斯坦 A/B 系数：吸收、自发辐射与受激辐射如何决定增益与线型
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一句话结论：爱因斯坦 A 系数给出跃迁的总强度，线型函数把这强度分配到频率上，增益由截面与反转粒子数之积决定；均匀与非均匀加宽又决定了强光下是整条线一起饱和，还是只烧出一个孔。
一、同一批原子，为什么在激光器里才有增益
一支几毫瓦的氦氖激光管和一支同样发红光的氖灯，发光原子都是氖。灯管里的原子被放电激发后，过不了多久就自发落回低能级，发出的光频率、相位、方向都很散；激光管里的原子被持续泵浦到上能级，并且处在两面镜子之间，某个特定频率的光每穿过一次增益介质就强一点。前者是自发辐射的集合，后者是受激辐射被反复放大。
要定量回答“为什么能放大、放大的是哪个频率”，第一步是把原子与光的相互作用拆成几个过程，并写成同一组速率方程。这一步不需要量子场论，只需要能量守恒、光子数守恒和热平衡这三个条件。
二、三种过程与三个系数
设原子只有两个能级，\(E_2>E_1\)，跃迁频率 \(\nu_0=(E_2-E_1)/h\)。把辐射场写成谱能量密度 \(\rho(\nu)\)，单位是 \(\mathrm{J\cdot m^{-3}\cdot Hz^{-1}}\)，即单位体积、单位频率间隔内的能量。原子与场的相互作用可以分成三种：
- 吸收：原子从 \(E_1\) 跃迁到 \(E_2\)，每个原子的速率是 \(B_{12}\rho(\nu_0)\)；
- 自发辐射：原子从 \(E_2\) 落到 \(E_1\)，速率是 \(A_{21}\)，不需要外部光场；
- 受激辐射：入射光子在 \(E_2\) 上诱导原子下落，每个原子的速率是 \(B_{21}\rho(\nu_0)\)。
三种过程的速率与光子数变化列在表 1。关键区别不在“有没有光子”，而在放出的光子与入射光子的关系：自发辐射的光子相位、方向、偏振都是随机的；受激辐射的光子与入射光子同频、同相、同偏振。
表 1：三种辐射过程。速率是对单个原子而言，\(\rho\) 为谱能量密度。
| 过程 | 每个原子的速率 | 光子数变化 | 与入射光的关系 |
|---|---|---|---|
| 吸收 | \(B_{12}\rho(\nu_0)\) | \(-1\) | 消耗一个光子 |
| 自发辐射 | \(A_{21}\) | \(+1\) | 相位、方向、偏振随机 |
| 受激辐射 | \(B_{21}\rho(\nu_0)\) | \(+1\) | 与入射光子同频、同相、同偏振 |
图 1：二能级原子与辐射场的三种基本过程。吸收把原子从下能级送到上能级，自发辐射与受激辐射都把原子送回下能级，但后者放出的光子与入射光子相干。
把三种过程写进上下能级的粒子数方程：
两式相加为零，总粒子数守恒。\(A_{21}\) 与 \(B_{21}\) 都让 \(N_2\) 减少，但前者与光强无关，后者正比于光强；\(B_{12}\) 则让 \(N_2\) 增加。激光要发生，必须让后两项中的受激辐射超过吸收，也就是让 \(N_2\) 足够多。这个条件在下一节会变成一个不等式。
三、A 与 B 不是独立的三个数
热平衡时，原子在各能级上的分布由玻尔兹曼分布给出：
其中 \(g_1\)、\(g_2\) 是能级简并度。同一温度下，辐射场是黑体谱，\(\rho(\nu)\) 由普朗克公式给出。把这两个条件代入速率方程并令 \(dN_2/dt=0\)，可以解出平衡时的谱能量密度：
把它与普朗克公式
逐项比较，就得到两个关系：
对非简并能级 \(g_1=g_2\)，有 \(B_{12}=B_{21}\)：一个原子吸收光子和被光子诱导发射的概率相同，差别只在于上下能级各有多少原子。这也解释了为什么没有粒子数反转就没有净增益：吸收和受激辐射的截面一样大，谁占多数，光就被谁主导。
第二个关系更值得注意。\(A_{21}/B_{21}\) 正比于 \(\nu^3\)，频率越高，同样的受激耦合强度对应的自发辐射越快。把 632.8 nm 代入，\(8\pi h\nu^3/c^3=6.6\times10^{-14}\ \mathrm{J\cdot s\,m^{-3}}\)；若 \(A_{21}=1.0\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}\)，则 \(B_{21}=1.5\times10^{20}\ \mathrm{m^3\,J^{-1}\,s^{-2}}\)。原子在来得及被诱导放大之前，更容易先自发掉下来。这是极紫外与 X 射线激光难做的原因之一：泵浦必须非常快、增益长度必须非常长，才能在和自发辐射的竞争中占到便宜。
四、线型函数：总强度怎样摊到频率上
上面的速率方程把原子响应看成只在 \(\nu_0\) 处的一个尖峰。实际谱线有宽度：上能级寿命有限，碰撞会打断相位，原子热运动会造成多普勒频移。把这些机制归并成一个归一化的线型函数 \(g(\nu)\)：
\(g(\nu)\) 的单位是 \(\mathrm{Hz^{-1}}\)。它描述的是“单位频率间隔内有多少跃迁强度”，而不是跃迁的总强度。
均匀加宽来自寿命和碰撞，每个原子的谱线都一样宽，线型是洛伦兹型：
峰值在 \(\nu_0\) 处，等于 \(2/(\pi\Delta\nu_{\mathrm{H}})\)。
非均匀加宽来自原子群体内部中心频率的差异，最典型的是热运动导致的多普勒频移。单个原子仍是窄线，整体是许多窄线的叠加，线型为高斯型：
\(M\) 用 g/mol，\(T\) 用 K，得到的是 Hz。对 632.8 nm、400 K 的氖（\(M=20\)），\(\Delta\nu_{\mathrm{D}}\approx1.5\ \mathrm{GHz}\)。高斯型的峰值是 \(0.939/\Delta\nu_{\mathrm{D}}\)。若让两种线型有相同的半高全宽，高斯峰值比洛伦兹高约 48%（\(0.939/0.637=1.47\)）；两者的主要差别在翼部：洛伦兹型按 \(1/(\nu-\nu_0)^2\) 缓慢衰减，高斯型按指数衰减。图 2 是面积归一化后的对比。
图 2：面积归一化的高斯线型（红）与洛伦兹线型（蓝）。洛伦兹型的翼部下降更慢，远离中心处仍有不可忽略的响应。
线型的意义在于：它决定了同样的总跃迁强度会被摊到多宽的频率范围。线越窄，峰值截面越大；线越宽，峰值截面越小。后面会看到，增益和饱和都建立在“峰值截面”上。
五、从截面到增益：一个可复算的例子
把线型放回受激辐射速率，写成 \(B_{21}g(\nu)\rho(\nu)\)，并用 \(I(\nu)=c\rho(\nu)\) 把谱能量密度换成谱强度。定义受激辐射截面 \(\sigma(\nu)\)，使
就得到
对频率积分，\(\int\sigma\,d\nu=A_{21}\lambda^2/(8\pi)\)，与线型无关。A 系数决定的是这个积分强度，线型只决定它怎么分配。
增益系数是截面与反转粒子数密度之积：
\(\Delta N\) 的单位是 \(\mathrm{m^{-3}}\)，\(g(\nu)\) 的单位是 \(\mathrm{m^{-1}}\)。非简并时 \(\Delta N=N_2-N_1\)；有简并时，下能级的粒子要按 \(g_2/g_1\) 折算。信号光沿介质传播时，强度按 \(I(z)=I(0)e^{g z}\) 增长，\(g>0\) 才算放大。
下面用一组量级假设把公式走一遍。取 632.8 nm 的氦氖跃迁，设 \(A_{21}=1.0\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}\)（对应约 100 ns 的上能级寿命），放电温度 400 K，氖的摩尔质量 20 g/mol，反转粒子数密度 \(1\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\)。结果列在表 2。
表 2：用一组量级假设代入公式得到的数值。\(A_{21}\) 与 \(\Delta N\) 不是对某支具体激光管的标定，只用于核对数量级。
| 量 | 取值或结果 |
|---|---|
| 波长 \(\lambda\) | 632.8 nm |
| 频率 \(\nu_0\) | \(4.74\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\) |
| 设自发辐射速率 \(A_{21}\) | \(1.0\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}\) |
| 多普勒宽度 \(\Delta\nu_{\mathrm{D}}\) | 1.5 GHz |
| 高斯峰值 \(g(\nu_0)\) | \(6.2\times10^{-10}\ \mathrm{s}\) |
| 积分强度 \(A_{21}\lambda^2/(8\pi)\) | \(1.6\times10^{-7}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}\) |
| 峰值截面 \(\sigma_{\mathrm{peak}}\) | \(9.9\times10^{-17}\ \mathrm{m^2}\)（\(9.9\times10^{-13}\ \mathrm{cm^2}\)） |
| 反转粒子数 \(\Delta N\) | \(1\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\) |
| 小信号增益 \(g\) | \(0.099\ \mathrm{m^{-1}}\)（\(9.9\times10^{-4}\ \mathrm{cm^{-1}}\)，约 0.1%/cm） |
| 饱和光强 \(I_{\mathrm{sat}}=h\nu/(\sigma\tau)\) | \(3.2\times10^{4}\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)（3.2 W/cm²） |
量纲检查：\(\sigma\Delta N\) 是 \(\mathrm{m^2\cdot m^{-3}=m^{-1}}\)，与增益系数一致；\(h\nu/(\sigma\tau)\) 是 \(\mathrm{J/(m^2\cdot s)=W/m^2}\)，与光强一致。0.1%/cm 这个结果与氦氖激光小信号增益的常见量级相符，说明“积分强度 + 线型”的算法没有漏掉数量级因素。
表中的截面是峰值。若信号频率偏离线中心，\(\sigma(\nu)\) 按线型下降，增益也随之下降。对 1.5 GHz 宽的高斯线，偏 1 GHz 时 \(g(\nu)/g(\nu_0)=\exp(-4\ln2\times(1/1.5)^2)\approx0.29\)。激光器要把增益做在腔的纵模上，首先得让这个纵模落在增益线宽之内。
六、增益饱和：均匀与非均匀加宽的分岔
上面的 \(\sigma\) 是弱光下的。光强增大，受激辐射把上能级粒子搬下来，\(\Delta N\) 下降。二能级速率方程的稳态解给出
\(\tau\) 是上能级寿命；严格地说，饱和光强还与下能级寿命和能级简并度有关。把 \(\Delta N(I)\) 代回增益公式，均匀加宽介质里所有原子共用同一条线型，饱和对整个线型一视同仁：
非均匀加宽不一样。单色光只与中心频率落在它附近的那群原子共振，先把这一小群的增益压下去，其他速度群不受影响。把各群的贡献积分，在均匀宽度远小于非均匀宽度的极限下，
线中心被烧出一个孔，孔宽约为 \(\Delta\nu_{\mathrm{H}}\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}\)，深度为 \(1-1/\sqrt{1+I/I_{\mathrm{sat}}}\)。取 \(I=10I_{\mathrm{sat}}\)，孔深约 0.70，孔宽约为均匀宽度的 3.3 倍。图 3 画出了两条饱和曲线和对应的烧孔。
图 3：(a) 均匀加宽（绿实线）与非均匀加宽（蓝虚线）的归一化增益随光强下降，非均匀加宽在同样的 \(I/I_{\mathrm{sat}}\) 下掉得更慢；(b) 非均匀加宽线型在 \(I=10I_{\mathrm{sat}}\) 的单色泵浦下烧出的谱孔，孔深约 0.70。
这两种饱和有可观测的后果。非均匀加宽的气体激光器里，不同纵模可以各烧各的孔，因而能同时振荡；均匀加宽的激光器里，一个模式一旦起振就把整条线的增益压下去，其他模式被抑制，容易单模运转。兰姆凹陷也是同一机制：单模激光调谐到线中心时，驻波的两个反向行波与同一群原子作用，烧的是同一个孔，输出功率出现凹陷；离开中心，两个行波各烧一个孔，总增益反而高一些。饱和吸收光谱正是利用这个凹陷把谱线中心定得很准。
七、A/B 之外：为什么还需要三能级或四能级
到这里，A/B 和线型回答了“一对能级能提供多少增益”，但还没回答“能不能有增益”。对真正的二能级系统，泵浦光和信号光是同一束光，稳态下
泵浦再强，\(N_2\) 只能逼近 \(N_1\)，不会超过。原因很直接：同一束泵浦光既把原子往上抽，也把它往下诱导；非简并时两个截面相同。所以二能级系统可以做成放大器（需要外部信号和瞬态），但不能靠同一对能级做成连续运转的激光器。
三能级与四能级方案把泵浦和激光分到不同的能级对上，图 4 是三种方案的对比。
图 4：三种能级方案。(a) 二能级，泵浦与激光共用同一对能级，稳态无法反转；(b) 三能级，泵浦把基态粒子抽到 \(E_3\)，快速无辐射落到 \(E_2\)，激光 \(E_2\to E_1\)，下能级是基态；(c) 四能级，激光下能级 \(E_1\) 不是基态并快速排空，阈值低。
表 3：二能级、三能级与四能级方案的对比。
| 方案 | 泵浦路径 | 激光下能级 | 反转条件 | 阈值 | 典型介质 |
|---|---|---|---|---|---|
| 二能级 | 同一对能级 | \(E_1\) | 稳态不可能 | — | — |
| 三能级 | \(E_1\to E_3\) | \(E_1\)（基态） | 抽走一半以上基态粒子 | 高 | 红宝石 |
| 四能级 | \(E_0\to E_3\) | \(E_1\)（非基态，快速排空） | \(N_2>N_1\) | 低 | Nd:YAG |
三能级的困难在于激光下能级就是基态。要让 \(N_2>N_1\)，必须把一半以上的原子从基态抽走，泵浦功率和散热都吃不消。四能级的下能级不是基态，寿命又短，粒子很快排空，\(N_1\) 接近零，只要把少量原子送到 \(E_2\) 就能反转。红宝石是三能级，Nd:YAG 是四能级，这个差别直接体现在阈值上。
还有几层条件不在 A/B 的框架里，却决定一台激光器能不能工作：
- 谱线重叠：泵浦频率要落在吸收线上，信号频率要落在增益线上；线型错开，增益再大也用不上。
- 空间重叠：泵浦光、信号光、腔模要在同一体积内重叠，重叠因子会直接乘在有效增益上。
- 损耗：增益要超过腔损耗才有净放大，阈值条件是 \(g>\alpha\)，不只是 \(\Delta N>0\)。
- 相干效应：速率方程假设原子与场之间没有相干振荡；强场下的拉比振荡、电磁诱导透明、超辐射需要密度矩阵描述，A/B 的唯象速率不够。
- 折射率与简并：介质折射率为 \(n\) 时，\(A/B\) 关系要乘 \(n^3\)；能级简并时用 \(g_1B_{12}=g_2B_{21}\) 修正。
把这些放在一起，A/B 系数给出的是一对能级与辐射场耦合强弱的账本，线型把这个强度摊到频率上，\(\Delta N\) 决定增益的符号和大小，饱和决定它在多强的光下失效。四者都清楚，才能判断一台激光器的增益够不够、线宽落在哪里、为什么有时只能单模运转。
参考资料
- University Physics Volume 3, §8.6 Lasers. OpenStax, Rice University. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/8-6-lasers
- Einstein coefficients. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_coefficients
- J. Peatross, M. Ware. Physics of Light and Optics. Brigham Young University. https://optics.byu.edu/textbook
- Saturation power. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/saturation_power.html
- Doppler broadening. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/doppler_broadening.html
- Homogeneous broadening. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/homogeneous_broadening.html
- Inhomogeneous broadening. RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/inhomogeneous_broadening.html
- File:Two level system.jpg. Wikimedia Commons. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two_level_system.jpg
- File:Gauss and Lorentz lineshapes.svg. Wikimedia Commons. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gauss_and_Lorentz_lineshapes.svg
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