光学谐振腔与纵模：驻波条件、纵模间隔与 Q 值

一句话结论：腔长定纵模间隔，往返损耗定光子寿命与冷腔 Q；再由增益带宽决定哪些纵模起振、谱线多窄。

一、激光器里的腔：把放大变成振荡

激光器不是一盏更亮的灯。它的核心是一段能放大光的介质，加上两面把光送回介质的镜子。泵浦把能量送进介质，光在镜间往返、每次穿过介质都被放大一点；只要往返一次的放大超过损耗，腔内的光场就能维持下去。图 1 是梅曼第一台红宝石激光器的结构示意：闪光灯泵浦红宝石棒，棒两端构成谐振腔，激光从部分透射的一端输出。

图 1：红宝石激光器的基本结构：闪光灯（C）泵浦红宝石棒（G），棒两端构成谐振腔，激光从部分透射端输出，E 为激光束。

只有增益还不够。放大器可以让一束光单次通过后变强，但光出去就没了；激光器要的是反馈。两面镜子把光一次次送回增益介质，让同一束光反复经历放大。这里立刻出现一个筛选问题：镜子之间的距离固定，并非所有频率、所有方向的波都能在往返后与自己同相叠加。能在腔内稳定存在的场分布称为腔的模式；频率不同、而横向场分布相同的一组模式叫纵模，横向图样不同的叫横模。本篇只讨论纵模；横模对应不同的横向场分布，需要另外的横模指数来描述。

描述这个筛选过程，最方便的出发点不是增益，而是相位。光在腔内走一圈回到起点，如果相位与出发时不一致，叠加就会逐渐抵消；只有往返相位改变为 \(2\pi\) 的整数倍，波才能与自身同相叠加。这个条件把腔长和波长锁在一起，也解释了为什么激光的频率不是连续的。

二、驻波条件：镜面处必须是节点

先看最简单的平面平行腔：两面镜子分别在 \(z=0\) 和 \(z=L\)，腔内充满折射率为 \(n\) 的介质，镜面近似为理想导体。理想导体表面的切向电场必须为零，所以场在两面镜子处都得是节点。取一个沿 \(z\) 方向传播、在镜间来回反射形成的驻波，电场可以写成

其中 \(k=2\pi n/\lambda_0\) 是腔内的波数，\(\lambda_0\) 是真空波长。这个表达式在 \(z=0\) 处自动为零；要求在 \(z=L\) 处也为零，就得到

把 \(k=2\pi n/\lambda_0\) 代回去，得到

其中 \(\lambda=\lambda_0/n\) 是介质中的波长。这就是最常被引用的驻波条件：腔长必须是半波长的整数倍。\(m\) 叫纵模阶数；相邻两个纵模的 \(m\) 相差 1，相当于腔内多容纳一个半波长。图 2 画出了平面平行腔前六个纵模的场分布：每个模式在镜面处都是节点，阶数每增加一，腔内就多一个节点。

图 2：平面平行腔前六个纵模的驻波场分布。镜面处为节点，阶数越高，腔内节点越多；相邻模式的阶数相差 1，腔内多一个半波长。

实际的镜子不是理想导体。光从介质射到镜面时，反射会带来相位跳变；多层介质膜还有一定的穿透深度，场并不是在膜表面严格为零。这两件事可以用一个等效腔长 \(L_{\rm eff}\) 和两面镜子的反射相位 \(\varphi_1\)、\(\varphi_2\) 来吸收：

对金属镜，\(\varphi\) 接近 \(\pi\)；对介质膜，相位随波长变化，穿透深度也可能达到几个波长。做粗略估算时用几何长度 \(L\) 就够了；要算到 MHz 量级的纵模绝对频率，必须把等效腔长和色散一起考虑。这个区别在后面算 Q 和线宽时会再次出现。

把 \(k=2\pi\nu n/c\) 代入驻波条件，可以得到纵模频率

对 632.8 nm 的红光、30 cm 长的腔，\(m=2nL/\lambda\) 约为 \(9.5\times10^5\)。也就是说，相邻纵模的阶数只差 1，但绝对频率处在 \(10^{14}\) Hz 量级；真正有用的是它们的间隔，而不是单个 \(m\) 的绝对值。

上面的推导针对驻波腔。如果腔是环形、光只沿一个方向绕行，镜面处不再要求节点，往返一周的相位为 \(2\pi m\) 即可，对应 \(nL=m\lambda_0\)。若环形腔的周长 \(P\) 等于线性腔的镜间距 \(L\)，它的纵模间隔是 \(c/(n_gP)\)，比线性腔的 \(c/(2n_gL)\) 大一倍；这一点在讨论单纵模方案时还会用到。

三、纵模间隔：一把等间距的频率梳

把 \(\nu_m=mc/(2nL)\) 对 \(m\) 求差，再把相折射率换成群折射率，相邻纵模的频率间隔是

这个间隔也叫自由光谱范围（free spectral range，FSR）。这里把折射率换成了群折射率 \(n_g\)。原因是：相邻纵模的频率差由光在腔内往返一次的群延迟决定，而群延迟用群折射率描述。色散介质中 \(n_g=n+\nu\,dn/d\nu\)，往返群延迟是 \(2n_gL/c\)，它的倒数就是纵模间隔。对稀薄气体 \(n_g\approx n\approx1\)；对半导体和某些晶体，\(n_g\) 可以明显大于相折射率，做精确设计时不能直接拿 \(n\) 代替。

同一个间隔换到波长坐标，也可以从 \(\lambda_m=2n_gL/m\) 直接求差。相邻模式的 \(m\) 相差 1，\(\lambda_m\) 的变化量约为 \(-2n_gL/m^2\)，取绝对值并代入 \(m=2n_gL/\lambda\)，得到

这里用了 \(m\gg1\)，把 \(m(m+1)\) 近似为 \(m^2\)；负号只说明波长随频率增大而减小，实际使用的是间隔的绝对值。这个式子说明：腔越短，频率间隔和波长间隔都越大；同样的腔长下，长波长的波长间隔更大。表 1 用两个常见例子把数量级摆出来。

表 1：两种典型腔的纵模间隔。数值按 \(\Delta\nu=c/(2n_gL)\)、\(|\Delta\lambda|=\lambda^2/(2n_gL)\) 复算；半导体一栏把教材示例中的 3.2 当作有效群折射率近似，精确设计应使用实测值。

氦氖（He-Ne）激光的 0.50 GHz 间隔与它约 1.5 GHz 的多普勒增益带宽同量级，所以腔内通常只有少数几个纵模能同时获得足够增益；把腔缩短，间隔变大，就容易只剩一个。半导体激光器的腔长短得多，纵模间隔反而达到 9 GHz 量级，但它的增益带宽更宽，自由运转时仍可能有很多纵模，实际器件要靠分布反馈光栅、外腔或解理面镀膜等手段选模。这里只看纵模间隔本身，不展开器件结构。

“有间隔”不等于“都能起振”。图 3 把增益包络、阈值和纵模画在同一张图上：纵模像一把等间距的梳子，增益包络决定每个齿能分到多少放大，阈值决定哪些齿真的能长起来。只有增益超过阈值的模式才能维持振荡；边缘模式对增益起伏、腔长漂移和阈值变化都很敏感，实际数目可能比“增益带宽除以间隔”少一个。

图 3：按 He-Ne 参数计算的纵模频率梳与增益包络：腔长 0.30 m，纵模间隔约 0.50 GHz，增益半高全宽 1.5 GHz，阈值取归一化增益 0.5。红线和红点表示阈值以上的纵模，灰线表示阈值以下；本例有 3 个模式在阈值以上。

实验上判断纵模间隔，常用两种办法。一种是把腔的输出送进扫描法布里-珀罗（Fabry–Pérot，FP）干涉仪，看透射峰之间的频率差；另一种是让多个纵模同时打在快速光电探测器上，相邻模式的拍频等于它们的频率差，也就是 \(\Delta\nu\)。拍频法要求探测器的带宽覆盖这个间隔，对 0.5–10 GHz 的间隔，高速光电二极管和射频频谱仪就够了。

四、腔损耗：往返一次要付多少代价

光在腔内走一圈，并不是原样回来。输出耦合镜要透出一部分，镜面镀膜有吸收和散射，介质本身有吸收，有限孔径还会让边缘的光衍射逃逸。把这些都折算成往返一次的功率损耗 \(l\)：

\(R_1\)、\(R_2\) 是两面镜子的功率反射率，已经包含透射与镜面吸收/散射；\(\alpha_s\) 是介质的强度吸收系数，单位是 m\(^{-1}\)。如果两面镜子都是 \(R=0.99\)、介质吸收可以忽略，那么 \(l=1-0.99^2\approx0.0199\)，约 2%。衍射损耗不在这个式子里，需要按腔的菲涅耳数或实际孔径另加；在腔很长、孔径很小时，它不能忽略。

\(l\) 的一个直接用途是给阈值增益。光往返一次，强度先被增益放大 \(e^{2gL}\)，再被损耗留下 \((1-l)\)；阈值处二者正好抵消：

解出

对 \(L=0.30\) m、\(l=0.02\) 的腔，\(g_{\rm th}\approx0.033\) m\(^{-1}\)，也就是每厘米约 0.03% 的强度增益。这个数看起来很小，但激光介质的增益本来就不大，腔损耗必须压到同一量级才能起振。若两面镜子各只有 90% 反射率，\(l\) 立刻升到约 0.19，阈值增益要提高一个数量级，这就是低增益激光器要用高反镜的原因。

损耗还决定光在腔内能待多久。设往返时间为 \(T_{\rm rt}=2n_gL/c\)，每往返一次功率乘以 \((1-l)\)；当 \(l\ll1\) 时，\((1-l)\approx e^{-l}\)，经过 \(N\) 次往返后功率按 \(e^{-Nl}=e^{-t/\tau_p}\) 衰减，于是

\(\tau_p\) 叫光子寿命，量级上就是“光子在腔内平均能待的时间”。\(L=0.30\) m 的腔，\(T_{\rm rt}=2.0\) ns；\(l=0.02\) 时 \(\tau_p=100\) ns，\(l=0.002\) 时 \(\tau_p=1.0\) \(\mu\)s。损耗越小，光子在腔内往返的次数越多，寿命越长。

输出耦合同时影响储能和输出，它本身就是 \(l\) 的一部分：耦合太弱，腔内储能高、Q 高，但取出的功率少；耦合太强，\(\tau_p\) 变短、阈值升高，可输出的功率反而可能下降。所以输出耦合镜的透过率有一个折中值，由增益、内损耗和想要的输出功率共同决定。这里只把它作为损耗预算的一项；阈值附近的斜率效率与最佳透过率涉及增益与输出耦合的完整优化，本文不展开。

五、品质因数 Q：储能与损耗的比值

光子寿命把“损耗”翻译成了“时间”，品质因数则把它翻译成一个无量纲的数。Q 的基本定义是储能与每弧度损耗之比：

对腔来说，功率损耗可以写成 \(P_{\rm loss}=lU/T_{\rm rt}\)：每往返一次损失比例 \(l\)，往返时间是 \(T_{\rm rt}\)。代入定义，得到光学腔的常用形式

它与线宽的关系是

其中 \(\Delta\nu_c\) 是**无源腔（冷腔）**共振峰的半高全宽。把 \(\Delta\nu_c=\Delta\nu/\mathcal F\) 和 \(\nu=m\Delta\nu\) 代入，还能得到

\(\mathcal F\) 是腔的精细度。这个关系把“纵模阶数”“峰间距与峰宽之比”和“绝对频率与绝对线宽之比”串在一起：阶数 \(m\) 越大、精细度越高，Q 越大。

回到 30 cm、往返损耗 2% 的腔。\(T_{\rm rt}=2.0\) ns，\(\tau_p=100\) ns，\(\nu=473.76\) THz，于是

对应的冷腔线宽

用 \(m\mathcal F\) 校验：\(m=2L/\lambda\approx9.48\times10^5\)，\(\mathcal F=2\pi/l\approx314\)，乘积为 \(2.98\times10^8\)，与上面的 Q 一致。这个数也可以反过来理解：Q 越高，光子在腔内待得越久，共振峰越窄；Q 从 \(10^8\) 提高到 \(10^{10}\)，同样的光频率下线宽就从 MHz 降到几十 kHz。

表 2：同一 30 cm 腔在不同往返损耗下的光子寿命、冷腔 Q 与冷腔线宽。取 \(n_g\approx1\)、\(\lambda=632.8\) nm，按 \(\tau_p=T_{\rm rt}/l\)、\(Q=2\pi\nu\tau_p\)、\(\Delta\nu_c=\nu/Q\) 计算。

图 4 从另一个角度看同一件事：镜面反射率越低，往返损耗越大，Airy 透射峰越宽。峰与峰之间仍然隔着一个 FSR；峰变宽相当于 \(\mathcal F\) 下降，Q 也随之下降。

图 4：不同镜面反射率下 FP 腔的 Airy 透射谱（实线）与对应同一组镜面反射率的单洛伦兹线（虚线）对比。反射率越低，透射峰越宽；峰间距仍由 FSR 决定。

这里有一个必须说清的边界：冷腔 Q 不等于激光器的输出线宽 Q。上面的 \(Q\) 和 \(\Delta\nu_c\) 是在没有增益、只靠镜子储能的被动腔上定义的。连续运转的激光器里，增益恰好补偿损耗，按“净损耗”算 Q 会趋于无穷；文献里若说“激光器的 Q”，通常要么指无增益的冷腔 Q，要么指由输出线宽定义的 Q，两者可以相差好几个数量级。冷腔线宽 1.59 MHz 只说明这个腔本身有多“挑频率”，并不能直接当作这台激光器最终输出的线宽。激光线宽还取决于自发辐射噪声、增益动力学和技术噪声，本文不展开。

Q 还有固有 Q（intrinsic Q）与 loaded Q（加载 Q）之分。固有 Q 只算镜子吸收、散射和介质吸收等损耗；loaded Q 把输出耦合也算进去。输出耦合是故意引入的损耗，它降低 loaded Q，却让激光能够输出。讨论激光腔时如果不说明是哪一个 Q，数字很容易对不上。

六、单纵模判据与适用边界

把前面的量合起来，就能回答一个很实际的问题：给定腔长、群折射率和增益带宽，腔内大概有几个纵模？最粗的估计是

氦氖激光的 1.5 GHz 增益带宽、0.50 GHz 的纵模间隔给出 \(N\approx3\)，与图 3 的例子一致。但这个估计只数了“落在增益带宽内”的模式，没有逐模比较增益和损耗；真正起振的模式还要满足增益大于阈值。边缘模式往往处在“刚好够”或“刚好不够”的位置，温度、腔长和泵浦的微小变化就可能让它起振或熄灭。

如果只需要一个纵模，有三条常用思路，分别改变公式里的不同量。

缩短腔长。 \(\Delta\nu\propto1/L\)，腔越短，纵模间隔越大。把 He-Ne 的腔从 30 cm 缩到 10 cm，间隔从 0.50 GHz 升到约 1.50 GHz，与增益带宽同量级，才容易只留下一个模式。代价是增益介质变短，单程增益下降，阈值会升高；短腔单频激光器要在“模式选择”和“足够增益”之间取折中。

在腔内加标准具。 一块薄的法布里-珀罗标准具提供另一套周期性的低损耗峰，它的 FSR 与主腔不同。只有同时落在两套峰上的纵模损耗最低，其余模式被标准具挡掉。这就是游标（Vernier）选模：两把周期略有差异的“梳子”叠在一起，公共齿只剩一个。标准具的精细度越高，选择越尖锐，但插入损耗和对准要求也越高。

改用环形腔。 环形腔让光单向绕行，形成行波而不是驻波。驻波在腔内有固定的节点和腹点，节点附近的增益介质没有被强光饱和，相邻纵模可以利用这些未被饱和的增益，这就是空间烧孔；行波没有周期性的驻波图样，空间烧孔被抑制，模式竞争更干净。代价是环形腔需要单向器、镜片更多；若环的周长 \(P\) 等于线性腔的镜间距 \(L\)，它的 FSR 是 \(c/(n_gP)\)，为线性腔的两倍。

增益加宽的性质也会改变多模行为。均匀加宽下，各模式共享同一批跃迁，一个模式消耗增益后其他模式得到的放大下降，模式竞争强，通常一个模式占优；非均匀加宽下，不同频率对应不同的粒子群，各模式可以各自消耗自己那部分增益，多模共存更容易。实际激光器往往两者兼有，还叠加空间烧孔和模式牵引，不能只凭“增益带宽除以间隔”就断定输出谱。

最后把适用条件收拢一下。本文的纵模公式假设平面平行腔、单横模、腔长和折射率均匀，并把色散只收进 \(n_g\)；曲面腔会引入 Gouy 相移，横模频率会插在纵模之间，公式要改写。环形腔的 FSR 是 \(c/(n_gP)\)（\(P\) 为环的周长），不能直接套 \(c/(2n_gL)\)。\(g_{\rm th}\approx l/(2L)\)、\(\mathcal F\approx2\pi/l\)、\(Q=2\pi\nu T_{\rm rt}/l\) 都用了 \(l\ll1\) 的近似；损耗达到百分之几十时，这些近似会明显偏离，应该回到 \(e^{2gL}(1-l)=1\) 和 Airy 函数本身。高精度频率计算还要考虑模式牵引、热漂移和镜面相位色散。

把腔长 \(L\)、群折射率 \(n_g\) 和往返损耗 \(l\) 这三个量测准，纵模间隔、模式数、光子寿命和冷腔 Q 就能互相校验：间隔给出频率梳的齿距，增益带宽和阈值决定留下几个齿，损耗给出每个齿的宽度。至于激光最终输出多窄、多稳，还要看增益动力学与噪声，那是另一层问题。

参考资料

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