光学与光子学
高斯光束参数与传输：束腰、瑞利长度、M² 与 ABCD
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一句话结论：高斯光束的束腰、瑞利长度与发散角由波长和束腰唯一锁定，M² 把同一组关系推广到真实光束。
一、从傍轴波动方程到厄米-高斯模
一束激光如果真是无限大的平面波，它不会发散；但任何实际光束的横向尺寸都有限。把有限宽度的光场做平面波展开，会得到一束传播方向略有差异的平面波，它们的干涉在传播一段距离后必然让光斑变宽。这就是衍射，和激光器做得好不好无关。要描述一束既沿 \(z\) 轴传播、横向又保持光滑分布的光，最省事的做法是先承认发散很小，再解一个近似方程。
从标量亥姆霍兹方程出发：
其中 \(k=2\pi/\lambda\)。设光沿 \(z\) 轴传播，把场写成 \(E(x,y,z)=u(x,y,z)e^{-ikz}\)，\(u\) 是随 \(z\) 缓慢变化的复包络。代入后得到
如果光束发散足够慢，\(u\) 对 \(z\) 的二阶导数远小于一阶项，
就得到傍轴波动方程：
“傍轴”在这里有可操作的含义：光束与 \(z\) 轴的夹角很小，发散半角满足 \(\theta^2\ll1\)；对高斯光束，这等价于 \(w_0\gg\lambda/\pi\)。后文会看到，当聚焦到波长量级时，这个条件开始失效，需要更严格的方法。
这个方程在直角坐标下分离变量，得到一族正交解——厄米-高斯模。第 \((m,n)\) 阶模的电场可以写成
其中 \(r^2=x^2+y^2\)，\(H_m\) 是厄米多项式，\(w(z)\) 是束宽，\(R(z)\) 是波前曲率半径，\(\zeta(z)\) 是 Gouy 相位，\(C_{mn}\) 是归一化常数。时间约定取 \(e^{-i\omega t}\)；若换用 \(e^{+i\omega t}\)，相位整体取共轭，\((m+n+1)\zeta\) 的符号也会随之改变；物理上的附加相位是同一个量，只是写法随约定改变。
取 \(m=n=0\)，\(H_0=1\)，上式退化为基模高斯光束。它的强度是
指数里的因子 2 来自电场平方，所以 \(r=w\) 处强度降到峰值的 \(e^{-2}\approx13.5\%\)。这个 \(w\) 就是常说的 \(1/e^2\) 半径；在 \(r<w\) 的圆内集中了约 \(1-e^{-2}\approx86.5\%\) 的功率。若用半高全宽（FWHM）描述，同一高斯光束的 FWHM 直径约为 \(1.177w\)，数值不同但描述的是同一个分布。
高阶模的强度分布是
\(m\)、\(n\) 分别给出 \(x\)、\(y\) 方向的暗节线数目：TEM00 没有节线，TEM01 和 TEM10 各有一条，TEM11 有两条。图 1 把这些横模排在一起，可以看到光斑形状是模阶的直接结果，而不是人为选定的图样。
图 1：厄米-高斯横模的强度分布。横向指数 \((m,n)\) 分别对应 \(x\)、\(y\) 方向的暗节线数目；左上角的 TEM00 是基模，横向分布为单一高斯。
稳定谐振腔的本征模通常可以写成厄米-高斯模的叠加，基模 TEM00 的光束质量最好，所以很多激光器会通过选模尽量只让基模起振。这里不展开腔的纵模与选模条件，只需记住：从腔里出来的横模阶数越高，横向图样越复杂，后面要讲的 \(M^2\) 也越大。
二、束腰、瑞利长度、发散角与波前
高斯光束的横向分布由 \(w(z)\) 描述，而整条 \(w(z)\) 曲线只由两个量决定：束腰半径 \(w_0\) 和波长 \(\lambda\)。把束腰放在 \(z=0\)，束宽随传播距离变化为
其中
称为瑞利长度。\(z=0\) 处 \(w=w_0\)，这是整束光最细的位置，称为束腰。\(|z|=z_R\) 时 \(w=\sqrt2w_0\)，光斑面积正好翻倍；所以 \(z_R\) 常被当作光束开始明显发散的尺度，\(2z_R\) 则常被称为准直距离或共焦参数。严格说 \(2z_R\) 不是硬截止，超过它以后束宽仍连续增大，只是在 \(|z|\ll z_R\) 的范围内 \(w(z)\approx w_0\)，看起来像平行光。
远场 \(z\gg z_R\) 时，\(w(z)\approx w_0 z/z_R\)，光束变成一条以束腰为顶点的圆锥。定义远场发散半角
于是 \(w(z)\approx\theta z\)。把 \(z_R\) 和 \(\theta\) 的表达式相乘，得到一个很好用的恒等式：
它说明束腰、瑞利长度和发散角不是三个独立的数：只要知道其中两个，第三个就定了。工程上常用的光束参数乘积（beam parameter product，BPP）是 \(w_0\theta\)；对理想高斯光束
只由波长决定。想让光束传得远，就要把 \(w_0\) 做大、把 \(\theta\) 做小；想把光聚得很细，就要接受更大的发散角。这是衍射给出的交换关系，不是透镜或激光器的工艺缺陷。
波前的形状由曲率半径 \(R(z)\) 描述：
在束腰处 \(R\to\infty\)，波前是平面；离开束腰后 \(R\) 先减小，在 \(z=z_R\) 附近达到极小值 \(2z_R\)，然后随 \(z\) 增大而渐近于 \(R\approx z\)，也就是球面波。图 2 把这些量画在同一条束宽曲线上；图 3 则把聚焦光束的等相位面画出来，可以直观看到束腰附近波前接近平面、离开束腰后逐渐弯曲。
图 2：高斯光束的束腰、瑞利长度与远场发散角。束腰处半径最小；在 \(z=\pm z_R\) 处束宽增至 \(\sqrt2w_0\)；远场两条渐近线的半角为 \(\theta\)。
图 3：聚焦高斯光束的强度分布与等相位面。点线表示波前，虚线表示束宽；束腰附近波前接近平面，离开束腰后波前逐渐弯曲。
除了曲率半径，高斯光束还有一个不改变强度、却会改变相位的量：Gouy 相位
从束腰前很远处传到束腰后很远处，基模的 Gouy 相位总共变化 \(\pi\)；第 \((m,n)\) 阶模则变化 \((m+n+1)\pi\)。它不影响 \(|E|^2\)，但在干涉、谐振腔模式和锁模里会实打实地改变相位条件。焦点前后相位不同，原因就在这里。
表 1 给出几组典型量级。所有数值都按上面的公式计算，保留三位有效数字；实际光束还要用 \(M^2\) 修正，下一节先讲 \(q\) 参数和透镜，再讲 \(M^2\)。
表 1：按 \(z_R=\pi w_0^2/\lambda\)、\(\theta=\lambda/(\pi w_0)\) 计算的高斯光束典型参数
| 情形 | 波长 \(\lambda\) | 束腰 \(w_0\) | 瑞利长度 \(z_R\) | 发散半角 \(\theta\) | \(2z_R\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 氦氖激光 | 633 nm | 0.5 mm | 1.24 m | 0.403 mrad | 2.48 m |
| 光纤激光 | 1064 nm | 1 mm | 2.95 m | 0.339 mrad | 5.91 m |
| 聚焦光束 | 633 nm | 5 µm | 124 µm | 40.3 mrad | 248 µm |
| 聚焦光束 | 1064 nm | 20 µm | 1.18 mm | 16.9 mrad | 2.36 mm |
把表 1 的第一行和第三行对比：波长相同，腰斑从 0.5 mm 缩小到 5 µm，缩小了 100 倍；发散角从 0.403 mrad 增大到 40.3 mrad，放大了 100 倍；瑞利长度从 1.24 m 缩短到 124 µm，缩短到原来的万分之一。这个“100 倍—100 倍—一万倍”的关系，就是 \(w_0=\theta z_R\) 和 \(z_R\propto w_0^2\) 的直接结果。
三、q 参数与 ABCD：把传播和透镜写成矩阵
上面几个量描述的是“某个 \(z\) 处的光束”。如果光路里有一块透镜，焦点会移到哪里、光斑会变成多大？逐段做衍射积分很麻烦。复光束参数 \(q\) 把 \(w\) 和 \(R\) 打包成一个复数，自由空间和薄透镜则写成 \(2\times2\) 矩阵，整条光路就变成矩阵乘法和一次分式变换。
定义
若束腰在 \(z=0\)，则 \(q(z)=z+iz_R\)：实部是离开束腰的距离，虚部是瑞利长度。束腰处 \(R\to\infty\)，\(q=iz_R\) 是纯虚数。光经过一个由矩阵
描述的光学系统后，\(q\) 按 ABCD 定律变换：
自由空间段 \(d\) 和薄透镜 \(f\) 的矩阵分别是
多个元件串起来时，把后经过的矩阵放在左边相乘。比如“先过透镜、再走距离 \(d\)”的整体矩阵是 \(M_{\mathrm{free}}(d)M_{\mathrm{lens}}(f)\)。矩阵只描述近轴光线和近轴波前，遇到硬边光阑、强截断或大角度偏折时要另做衍射计算。
看一个最常用的例子：入射束腰正好在透镜上，腰斑 \(w_{\mathrm{in}}\)，瑞利长度 \(z_R=\pi w_{\mathrm{in}}^2/\lambda\)，所以 \(q_1=iz_R\)。经过薄透镜后
把 \(q_2\) 写成 \(z_2+iz_R'\)，读出射束腰的位置和新的瑞利长度：
出射腰斑为
当 \(z_R\gg f\) 时，\(z_0'\approx f\)，且
这就是常说的“聚焦光斑与 \(f\) 成正比、与入射束宽成反比”。入射光越粗，焦点越小；焦距越短，焦点越小。但它有一个容易被忽略的前提：入射束腰在透镜上，且 \(z_R\gg f\)。如果入射光束在透镜处还没有到腰，或者 \(z_R\) 和 \(f\) 同量级，就要用上面的精确式，不能直接套近似。
图 4 画出一般情形：入射束腰 \(w_0\) 距透镜 \(z_0\)，出射束腰 \(w_0'\) 距透镜 \(z_0'\)；上面的算例取 \(z_0=0\)，即入射束腰正好在透镜上。
图 4：薄透镜对高斯光束的变换。入射束腰 \(w_0\) 距透镜 \(z_0\)，出射束腰 \(w_0'\) 距透镜 \(z_0'\)；\(q\) 参数经透镜矩阵变换后给出这两个量。
表 2 用 \(\lambda=1064\) nm、\(w_{\mathrm{in}}=1\) mm 算了几组焦距。此时入射瑞利长度 \(z_R=2.95\) m，远大于表中的 \(f\)，所以近似式和精确式只差不到千分之一。
表 2：薄透镜聚焦的束腰、瑞利长度与焦点位置（\(\lambda=1064\) nm，\(w_{\mathrm{in}}=1\) mm，入射束腰在透镜处）
| 焦距 \(f\) | 出射腰斑 \(w_0'\) | 出射瑞利长度 \(z_R'\) | 焦深 \(2z_R'\) | 焦点位置 \(z_0'\) |
|---|---|---|---|---|
| 50 mm | 16.93 µm | 0.846 mm | 1.69 mm | 49.99 mm |
| 100 mm | 33.85 µm | 3.383 mm | 6.77 mm | 99.89 mm |
| 200 mm | 67.58 µm | 13.49 mm | 26.97 mm | 199.09 mm |
表 2 里焦距翻倍，腰斑也翻倍，焦深变成四倍。想把光聚得更细，就要缩短焦距或扩大入射束宽；代价是焦深变短、透镜相对孔径变大、像差和装调误差更敏感。这个取舍在第五节还会以另一种形式出现。
四、M² 与 ISO 11146：真实光束的“等效高斯”
前面的公式默认光束是理想的 TEM00 模。真实激光器可能同时起振几个横模，也可能有像差、光阑截断或增益分布不均匀，结果是对同样的腰斑，它发散得比理想高斯更快。工程上用光束质量因子 \(M^2\) 描述这种差距：
其中 \(w_0\) 和 \(\theta\) 是实际光束的腰斑半径与远场发散半角。理想高斯光束 \(M^2=1\)；实际激光光束通常 \(M^2>1\)，\(M^2=1\) 是理想基模的极限。反过来写，
也就是说，\(M^2\) 越大，同样腰斑下的发散角越大，等效瑞利长度越短。若用焦距 \(f\)、入射束宽 \(w_{\mathrm{in}}\) 的透镜聚焦，焦点腰斑约放大为
而焦深按新的腰斑和 \(M^2\) 计算。这一点在加工和耦合里很实际：厂商标称的 \(M^2\) 不是“质量评分”，它直接进入光斑和焦深的估算。
\(M^2\) 和横模阶数还有一个干净的关系。对纯厄米-高斯模，按第二矩束宽定义，
TEM00 的 \(M^2=1\)；TEM01 或 TEM10 的 \(M^2=2\)；TEM11 的 \(M^2=3\)。这解释了为什么单横模工作受重视：不是基模看起来更漂亮，而是同样的腰斑下它发散最小、聚焦后峰值强度最高。混合模的 \(M^2\) 不是简单把各阶模的 \(m+n+1\) 相加，而是由各模的功率权重和束宽定义共同决定。
真实光束的 \(M^2\) 怎么测？ISO 11146 的思路是：不直接相信某一个位置的光斑，而是沿传播方向测一串束宽，拟合出一条双曲线，再从腰斑和渐近线斜率提取 \(M^2\)。束宽用强度分布的第二矩定义。对 \(x\) 方向，
其中 \(\bar x\) 是强度质心。对高斯光束，\(d_\sigma=2w\)，恰好等于 \(1/e^2\) 直径；对非高斯光束，第二矩束宽和 \(1/e^2\) 束宽可能明显不同，所以比较不同仪器或不同厂商的数据时，必须先确认束宽定义。
沿 \(z\) 轴测得一串 \(d_\sigma(z)\) 后，用双曲线拟合：
其中 \(d_{\sigma0}\) 是束腰处的第二矩直径，\(\Theta\) 是全发散角（不是半角）。拟合出这两个量后，
对理想高斯光束，\(d_{\sigma0}=2w_0\)、\(\Theta=2\theta\)，代回上式正好得到 \(M^2=1\)，可以和第二节的 \(M^2=\pi w_0\theta/\lambda\) 互相校验。
测量上有几个容易出错的地方。ISO 11146 要求至少取 10 个位置，并且要覆盖束腰附近和远场，也就是瑞利长度内外都要有数据；如果只在束腰一侧取样，拟合出的双曲线会被噪声带偏。第二矩对背景光、探测器截断和相机非线性很敏感：光斑被孔径切掉一点，外围的低强度区被丢掉，\(d_\sigma\) 就会偏小；背景没扣干净，\(d_\sigma\) 又会偏大。脉冲激光还要让快门或相机与脉冲同步，否则测到的是平均后的光斑。厂商规格书里的 \(M^2\) 如果没有注明束宽定义和拟合方法，只能当作参考。
表 3：相同腰斑与波长下，\(M^2\) 对发散角、等效瑞利长度和聚焦光斑的影响（\(w_0=1\) mm，\(\lambda=1064\) nm，\(f=100\) mm，\(w_{\mathrm{in}}=1\) mm；按公式计算，不代表特定型号）
| \(M^2\) | 远场发散半角 \(\theta\) | 等效瑞利长度 \(z_{R,\mathrm{eff}}\) | \(2z_{R,\mathrm{eff}}\) | 聚焦腰斑 \(w_0'\) |
|---|---|---|---|---|
| 1.0 | 0.339 mrad | 2.95 m | 5.91 m | 33.9 µm |
| 1.3 | 0.440 mrad | 2.27 m | 4.54 m | 44.0 µm |
| 1.5 | 0.508 mrad | 1.97 m | 3.94 m | 50.8 µm |
| 2.0 | 0.677 mrad | 1.48 m | 2.95 m | 67.7 µm |
表 3 说明，\(M^2=1.5\) 时同样腰斑的远场发散角增大约 50%，聚焦腰斑也增大约 50%；如果反过来要求聚焦到同样小的斑，等效瑞利长度会缩短为原来的 \(1/M^2\)，焦深更短。下一节把这些参数放到具体的聚焦、耦合、准直和加工场景里。
五、参数落到工程：聚焦、耦合、准直与加工窗口
前面把参数定义清楚了；这一节只看一件事：给定一束光和一个任务，哪几个数决定结果。下面所有例子都用前面的公式，数值可以用 verify_numbers.py 复查。
聚焦：光斑与焦深的取舍
对入射束腰在透镜上、且 \(z_R\gg f\) 的高斯光束，聚焦腰斑和焦深分别是
表 2 已经给出 \(\lambda=1064\) nm、\(w_{\mathrm{in}}=1\) mm 时三组焦距的结果：\(f=50\) mm 对应 16.9 µm 的腰斑和 1.69 mm 的焦深，\(f=100\) mm 对应 33.9 µm 和 6.77 mm，\(f=200\) mm 对应 67.6 µm 和 27.0 mm。焦距翻倍，腰斑翻倍，焦深变成四倍。想把光聚得更细，就要缩短焦距或扩大入射束宽；代价是焦深更短、透镜相对孔径更大，装调和像差也更难。
如果光束有 \(M^2>1\)，要区分两种问法。第一种是“透镜和入射光束不变，\(M^2\) 会怎样”：聚焦腰斑变成理想情况的 \(M^2\) 倍，焦深也变大，但在功率不变时峰值强度按 \(1/M^4\) 下降。第二种是“我要求焦斑仍然是 20 µm，\(M^2\) 会怎样”：焦深会缩短为理想情况的 \(1/M^2\)。表 4 是第二种问法的结果；很多激光加工和光纤耦合的指标属于这一种，不要把第一种的“焦深变大”直接套到第二种问法上。
表 4：同一聚焦腰斑下，\(M^2\) 对焦深的影响（\(\lambda=1064\) nm；按 \(2z_R'=2\pi w_0'^2/(M^2\lambda)\) 计算）
| 聚焦腰斑 \(w_0'\) | 焦深 \(2z_R'\)，\(M^2=1\) | 焦深 \(2z_R'\)，\(M^2=1.5\) |
|---|---|---|
| 20 µm | 2.36 mm | 1.57 mm |
| 34 µm | 6.83 mm | 4.55 mm |
| 50 µm | 14.8 mm | 9.84 mm |
单模光纤：腰斑匹配与对准容差
单模光纤的导模在端面附近可以近似成高斯模，模场半径记作 \(w_f\)；厂商常给模场直径（MFD），\(w_f=\mathrm{MFD}/2\)。把入射高斯模和光纤模场代入重叠积分，在两者同轴、同一束腰平面、无倾斜且偏振一致的条件下，耦合效率为
其中 \(w_1\) 是入射到光纤端面的光束腰斑，\(w_2=w_f\)。当 \(w_1=w_2\) 时 \(\eta=1\)；偏离越大，效率下降。若有横向偏移 \(d\)，再乘一个因子：
取 \(\lambda=1064\) nm、\(w_{\mathrm{in}}=1\) mm、\(f=10\) mm，得到 \(w_0'=3.387\) µm。设 \(w_f=3.1\) µm（模场直径约 6.2 µm，具体以光纤规格书为准），腰斑比 \(1.09\)，\(\eta=0.992\)，损耗约 0.035 dB。若聚焦腰斑变成 5 µm，\(\eta\) 降到 0.802，损耗约 0.96 dB；若聚焦腰斑只有 1.69 µm，\(\eta\) 约 0.707，损耗约 1.5 dB。表 5 列出这几个点。
表 5：腰斑比对单模光纤耦合效率的影响（\(w_f=3.1\) µm；按重叠积分计算，未计偏移、倾斜和波前误差）
| 聚焦腰斑 \(w_0'\) | 腰斑比 \(w_0'/w_f\) | 耦合效率 \(\eta\) | 损耗 |
|---|---|---|---|
| 3.10 µm | 1.00 | 1.000 | 0 dB |
| 3.39 µm | 1.09 | 0.992 | 0.035 dB |
| 5.00 µm | 1.61 | 0.802 | 0.96 dB |
| 1.69 µm | 0.55 | 0.707 | 1.50 dB |
表 5 的曲线在顶部比较平：腰斑比在 1 附近 ±10% 时，效率仍高于 99%。实际装调中更敏感的是横向偏移、倾斜和波前曲率。光纤端面要放在束腰处，让入射波前接近平面；如果端面离焦，波前弯曲，重叠积分下降。对匹配腰斑 \(w_1=w_2=w\)，横向偏移 \(d=w\) 时 \(\eta=e^{-1}\approx0.368\)，也就是 4.3 dB 的损耗。这就是为什么单模光纤耦合的调整架通常要做到亚微米级，而不是“光斑看起来重合”就行。波导的情况同理，只是模场不一定高斯，直接用重叠积分更稳妥。
准直与加工窗口
准直距离用 \(2z_R\) 估计。\(\lambda=1064\) nm 时，\(w_0=1\) mm 对应 \(2z_R=5.91\) m，\(w_0=5\) mm 对应 148 m，\(w_0=10\) mm 对应 590 m。若要求 100 m 内束宽不明显增大，取 \(z_R=50\) m，由 \(w_0=\sqrt{\lambda z_R/\pi}\) 得 \(w_0\approx4.1\) mm，也就是束径约 8.2 mm。扩束能把准直距离按 \(w_0^2\) 放大，但需要更大的镜片口径，指向稳定性和装调也更难；不是“扩得越大越好”。
加工窗口可以看成“焦斑”和“焦深”两个约束的交集。薄片精细加工希望焦斑小，但焦深也随之变短，材料厚度或离焦必须落在焦深以内；中厚材料希望焦深覆盖厚度，往往要接受更大的焦斑和更低的峰值强度。表 6 把本文用到的几组参数放在一起，说明每个任务先看哪个量。
表 6：参数在不同任务中的落点（数值为本文公式估算，用于说明取舍，不是工艺规范）
| 任务 | 先看的参数 | 本文数值例子 | 主要取舍 |
|---|---|---|---|
| 聚焦到小斑 | \(w_0'\approx\lambda f/(\pi w_{\mathrm{in}})\) | \(f=50\) mm，\(w_{\mathrm{in}}=1\) mm → 16.9 µm | 焦距越短、入射越粗，斑越小；焦深越短 |
| 保持焦深 | \(2z_R'=2\pi w_0'^2/\lambda\) | 16.9 µm → 1.69 mm；33.9 µm → 6.77 mm | 斑缩小一半，焦深变成四分之一 |
| 进单模光纤 | 腰斑比 \(w_0'/w_f\) | 3.39 µm / 3.1 µm → \(\eta=0.992\) | 腰斑太小时效率也下降；对准到亚微米 |
| 长距离准直 | \(2z_R=2\pi w_0^2/\lambda\) | \(w_0=10\) mm → 590 m | 扩束提高 \(z_R\)，但口径和指向更难 |
| 加工窗口 | \(w_0'\) 与 \(2z_R'\) 同时看 | 20 µm 斑 → 2.36 mm 焦深 | 材料厚度要落在焦深内，峰值强度要够 |
图 5：参数落点的两条取舍曲线。(a) 两高斯模同轴、同一腰平面时的耦合效率 \(\eta=[2r/(1+r^2)]^2\)，\(r=w_0'/w_f\)；红点标出 \(r=1\)、1.09 和 2.0 的位置。(b) \(\lambda=1064\) nm、\(w_{\mathrm{in}}=1\) mm 时，聚焦腰斑 \(w_0'\) 与焦深 \(2z_R'\) 随焦距 \(f\) 的变化（按 ABCD 精确式计算）；虚线标出 \(f=100\) mm 处的 33.9 µm 与 6.77 mm。
图 5(a) 的顶部很平，说明腰斑匹配不需要追求“精确到小数点后两位”；真正难的是偏移和波前。图 5(b) 的两条曲线同向增大，但焦深按焦距平方增长：把焦距从 100 mm 缩到 50 mm，腰斑减半，焦深只剩四分之一。加工窗口就是在这个平方关系里找一个能覆盖材料厚度、又能把峰值强度做够的位置。
六、适用边界与容易混淆的量
本文的公式都建立在傍轴、标量、单色和理想高斯模的假设上。常见激光光路的发散角只有毫弧度量级，\(w_0\) 也远大于波长，这些条件成立得很好；但当 \(w_0\) 接近或小于波长、或聚焦系统的数值孔径超过约 0.5 时，傍轴标量近似明显失效，需要矢量衍射或严格的麦克斯韦解法。此时本文的公式只能给出量级，不能用来预测焦斑的精确形状。
\(M^2\) 也有自己的适用条件。它是用第二矩束宽和双曲线拟合定义的，适合描述“能用一条双曲线近似”的光束；如果光束被硬边光阑严重截断、由几个分离的光斑组成，或者像散很复杂，单一个 \(M^2\) 不能概括它的聚焦行为。ISO 11146-1 处理旋转对称和简单像散的光束，更一般的像散要用 ISO 11146-2。厂商报 \(M^2\) 时，最好同时问清束宽定义、拟合位置和是否扣背景。
束宽定义是另一个容易混淆的地方。对同一个高斯光束，\(1/e^2\) 半径 \(w\)、FWHM 直径 \(1.177w\)、第二矩直径 \(d_\sigma=2w\) 描述的是同一个分布，但数值不同；对非高斯光束，它们可能差得更多。看到“光斑直径 50 µm”时，先确认是 \(1/e^2\)、FWHM 还是 D4σ，再和本文的公式比较。同理，发散角有半角和全角之分：本文的 \(\theta\) 是半角，ISO 的 \(\Theta\) 是全角，\(\Theta=2\theta\)；\(M^2\) 公式里的分母因此是 \(4\lambda\) 而不是 \(2\lambda\)。
“准直”也不是一个固定的终点。\(2z_R\) 是常用的工程尺度，不是硬边界；如果实际传播距离远小于 \(z_R\)，光束看起来就是平行的，超过 \(2z_R\) 后束宽仍会连续增大。\(q\) 参数的符号取决于时间约定，本文取 \(e^{-i\omega t}\)；换一种约定时 \(q\) 的虚部符号会变，但 \(w\)、\(R\)、\(|q|\) 这些可测量不会变。ABCD 矩阵只适用于近轴元件，遇到光阑、强截断、大角度偏折或高数值孔径聚焦时，不能用一个 \(2\times2\) 矩阵概括全部衍射效应。
实际估算的顺序可以反过来：先确认束宽定义和 \(M^2\) 口径，再用 \(w_0\)、\(z_R\)、\(\theta\) 三个量算一遍；如果三个数互相矛盾，先检查是不是把半径/直径、半角/全角或不同束宽定义混在了一起。激光聚焦估算出现偏差时，先检查这些定义，而不是怀疑公式本身。
参考资料
- Rüdiger Paschotta, "Gaussian Beams," RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/gaussian_beams.html
- Rüdiger Paschotta, "Beam Quality," RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/beam_quality.html
- Rüdiger Paschotta, "Beam Radius," RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/beam_radius.html
- Rüdiger Paschotta, "Mode Matching," RP Photonics Encyclopedia. https://www.rp-photonics.com/mode_matching.html
- ISO 11146-1:2021, "Lasers and laser-related equipment — Test methods for laser beam widths, divergence angles and beam propagation ratios — Part 1: Stigmatic and simple astigmatic beams." https://www.iso.org/standard/77769.html
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