角度不敏感超表面光谱成像：入射角、制造误差与标定

一句话结论：自由形状超原子让 30° 视场内谱响应基本不随角度变，实测角灵敏度 3.72%，标定后 LED 重建保真度约 98%。

论文简介

2024 年 6 月，Laser & Photonics Reviews 刊出清华大学电子工程系与北京信息科学与技术国家研究中心的论文 Angle-Insensitive Spectral Imaging Based on Topology-Optimized Plasmonic Metasurfaces。作者是 Jiawei Yang、Kaiyu Cui、Yidong Huang、Wei Zhang、Xue Feng 和 Fang Liu，通讯作者为 Kaiyu Cui 与 Yidong Huang。论文 DOI 为 10.1002/lpor.202400255。正式版为订阅访问；本文引用的全文与图为作者版 arXiv:2212.07813（CC BY 4.0）。

一句话概括贡献：作者把 100 个自由形状的金膜超原子做成一组谱响应各不相同的微型滤光单元，在优化时同时要求“谱要有区分度”和“0° 与 15° 的谱尽量一样”，再用实测的 100 条透射谱组成测量矩阵，从一张探测器读数里重建入射光谱。论文用 900 个制备单元、扫描电子显微镜（SEM）照片、四个角度的标定谱和发光二极管（LED）光谱重建，说明了这套方案在 30° 视场内的角度稳定性。

这篇论文要解决的问题很具体：计算光谱仪的测量矩阵通常是在正入射下标定的。实际使用时，光可能斜着进入镜头，或者视场边缘的光线本来就有一定角度；角度一变，滤光单元的透射谱就变，原来标定的矩阵对不上，重建结果就会偏。论文问的是，能不能把“对角度不敏感”直接写进超原子的设计目标，让矩阵在 30° 视场内尽量保持不变。

为什么角度会改谱

先看一个最熟悉的参照：法布里—珀罗（Fabry–Pérot）滤光片。它靠两片反射面之间的多次反射选波长，共振条件是往返相位满足

其中 \(m\) 是干涉级次，\(n\) 是腔体折射率，\(d\) 是腔长，\(\theta'\) 是腔内的传播角。外部入射角 \(\theta\) 通过斯涅尔定律 \(\sin\theta=n\sin\theta'\) 进入这个式子。角度变大，\(\cos\theta'\) 变小，满足同一级次的波长就向短波移动。

对小角度做展开，可以得到一个便于估算的关系：

以 \(n=1.45\)、\(\theta=15^\circ=0.2618\) rad 代入，\(\theta^2/(2n^2)\approx0.0163\)，也就是约 1.6%；在 600 nm 处对应约 9.8 nm 的波长漂移。这个估算说的是理想法布里—珀罗腔的“峰位移动”，不是论文器件的实测值，但它给出了量级：对窄带滤光片来说，十几度的入射角足以让峰位移动几个到十几个纳米，而许多光谱特征本身只有几纳米宽。

更一般地说，周期性结构把入射光耦合到某个导模或等离激元模式，需要满足面内动量匹配。入射角改变，面内波矢 \(k_{\parallel}=(2\pi/\lambda)\sin\theta\) 改变，共振条件随之改变；这就是很多超表面滤光片“换一个角度就换一张谱”的物理来源。多层薄膜和法布里—珀罗滤光片也受同一类路径长度变化影响，因此商用薄膜型光谱相机通常要求标定与测量的角度一致。

论文换了一条路：不去补偿角度带来的峰位移动，而是让每个超原子的谱响应本身对角度不敏感。它用的是两种局域模式：金孔阵列里的金属—绝缘体—金属法布里—珀罗（MIMFP）腔模，以及金柱阵列里的局域表面等离激元共振（LSPR）。这两种模式的电场都局域在亚波长结构附近，不依赖一段很长的相位匹配路径，所以入射角在 0°–30° 内变化时，透射谱的形状和峰位都相对稳定。这个“局域”是关键，后面所有设计都围绕它展开。

结构：20 nm 金膜上的自由形状超原子

器件的剖面很简单：石英衬底上做一层 20 nm 厚的金膜，金膜被刻成一个个自由形状的超原子；上面覆盖一层旋涂玻璃（SOG），再与互补金属氧化物半导体（CMOS）图像传感器集成。金膜只有 20 nm，既薄到能让相当一部分可见光透过，又足以支持局域等离激元共振；SOG 既保护金结构，也把超原子与探测器之间的折射率环境固定下来。

图 1：器件结构与计算重建流程。(a) 超表面与 CMOS 图像传感器集成的示意；(b) 器件垂直截面：石英衬底、20 nm 金膜、SOG 覆盖层；(c) 计算光谱重建原理：探测器读到的是入射谱与 100 条透射谱的内积，再通过矩阵反演恢复光谱。

100 个单元是 100 个周期和形状都不同的超原子，并非相同的滤光片复制 100 次。论文用自由形状生成算法建立了几何库，再把周期和形状一起交给遗传算法优化；周期在 120–300 nm 内以 5 nm 步进变化，形状的最小特征尺寸限制在 50 nm 以上。这两个约束都很实际：周期决定共振落在哪个波段，最小特征尺寸决定电子束光刻（EBL）和电感耦合等离子体（ICP）刻蚀能不能稳定做出来。

从测量角度看，每个单元就是一个探测器通道。设 100 个单元的透射谱排成矩阵 \(\mathbf{T}\)，入射光谱离散成向量 \(\mathbf{f}\)，探测器读数为 \(\mathbf{I}\)，噪声为 \(\mathbf{e}\)，测量可以写成

这里 \(\mathbf{T}\) 的每一行是一个单元对不同波长的响应，每一列是一个波长在 100 个单元上产生的响应。重建就是已知 \(\mathbf{I}\) 和 \(\mathbf{T}\) 求 \(\mathbf{f}\)。论文的仿真把 450–750 nm 分成 301 个采样点，大约 1 nm 一个点；这个 301 是计算时的离散点数，不是实测分辨率。实测的 \(\mathbf{T}\) 则是用可调谐光源逐角度、逐单元标定出来的 100 条谱，这一点在后面会展开。

为什么金孔和金柱对角度不敏感

论文选了两种最典型的超原子来说明机制。金孔阵列是在金膜上开周期 175 nm 的孔；金柱阵列是在石英上做周期 130 nm 的金柱。两者都在 450–750 nm 内有可用的透射，但共振来源不同。

金孔阵列支持的是 MIMFP 腔模。金膜上下表面和孔壁一起构成一个亚波长的金属—绝缘体—金属腔，电场被压在孔内。论文在图 2(c) 里给出 675 nm 的电场分布，能量集中在孔区域；这种局域腔模的共振条件主要由孔内几何和材料决定，对入射光的面内波矢不敏感。金柱阵列支持的是 LSPR：金柱的尺寸小于波长，入射场直接激发柱内的电子振荡，只要频率和偏振合适，柱子的共振就能被激发，不需要靠周期结构把某个特定角度的光耦合进来。

图 2：两类超原子的角分辨透射谱与电场分布。(a) 周期 175 nm 的金孔阵列；(b) 平均偏振下 0°–30° 的透射谱；(c) 675 nm 的模拟电场分布；(d) 折射率实部分布。(e) 周期 130 nm 的金柱阵列；(f) 0°–30° 的透射谱；(g) 687 nm 的电场分布；(h) 折射率实部分布。

图 2(b) 和 2(f) 是这一节的核心：从 0° 到 30°，两类结构的透射谱几乎重合。论文把原因归为两点：MIMFP 是角度无关的腔模，LSPR 则由局域电子振荡决定，二者都不依赖长程相位匹配。这里的“平均偏振”需要留意：论文的仿真和实验主要看平均偏振响应，没有把 s 偏振和 p 偏振分开讨论；对偏振敏感的应用，仍要单独检查两个偏振下的谱。

这也解释了为什么论文不直接用硅超表面。硅的折射率高、设计自由，但很多硅超原子的谱响应来自导模共振或周期结构的衍射，面内动量匹配一改变，谱就跟着变。论文在图 3(c) 里拿 100 个 220 nm 厚的晶体硅（c-Si）超原子做对照，目的不是比较材料优劣，而是说明“同样的自由形状设计方法，换到角度敏感的模式上，谱会随角度明显变化”。

把角度不敏感写进优化目标

有了两类低角度敏感的超原子，接下来要解决的是“多样性”。如果 100 个单元的谱都很像，角度再稳也分不出波长；如果为了多样性把谱拉得很开，又可能把角度敏感性带回来。论文把这两件事写进同一个目标函数：一部分惩罚每个单元在 0° 与 15° 之间的谱差异，另一部分奖励 100 条谱之间的最小相互差异。优化变量是每个单元的形状编号和周期，搜索空间由几何库和 120–300 nm 的周期网格给出。候选结构的透射谱用严格耦合波分析（RCWA）逐条计算；后面 0.98% 与 23.18% 两个数字都来自这套仿真。

图 3：自由形状超原子的优化与角灵敏度。(a) 优化流程：几何库、RCWA 谱计算、遗传算法的选择/复制/变异/评分循环；(b) 优化后的 100 条谱在 0° 与 15° 的曲线；(c) 100 个 c-Si 超表面单元的对照谱；(d) 平均相对差异随入射角的变化；(e) 达到不同平均相对差异所需的入射角，虚线标出 10% 的水平。

优化结果在 0° 与 15° 之间的平均相对差异是 0.98%，而 c-Si 对照组是 23.18%。如果把“平均相对差异达到 10%”作为容限，优化谱对应的入射角可到 48°，c-Si 只有 6°。这两个数字很直观地说明了设计目标的作用：同样是自由形状超原子，仅仅换掉材料体系和模式类型，角度容限就差了一个量级。

但 48° 是仿真容限，不是实验已经验证的视场。论文的实验只做到 15°（对应 30° 视场），因为这是大多数相机镜头的典型半视场，也便于和商用镜头对比。读这个数字时要分清“设计上能到多少”和“实验做到了多少”：前者来自 RCWA 仿真和优化目标，后者来自转台、光源和探测器的实际标定。

制造误差落在哪里

把设计值 0.98% 和实测值 3.72% 放在一起，最自然的疑问是：多出来的部分是不是制造误差？答案是“有一部分，但不能全算在制造上”。正文没有做误差分解，3.72% 是 100 个制备单元在 0° 与 15° 之间的平均谱差异，里面至少包含四类东西：超原子几何与设计值的偏差、100 个单元之间的不一致、转台与光路的对准误差，以及标定和测量本身的重复性。把它整体称为“制造误差”会高估制造的影响，也会掩盖标定的作用。

从结构上看，这个器件对制造误差的敏感点很明确。金膜只有 20 nm，2 nm 的厚度偏差就相当于 10% 的相对变化；自由形状的临界尺寸（CD）、侧壁角、孔/柱的圆角会改变局域模式的等效折射率和损耗；周期偏差会移动共振；SOG 的厚度和折射率则改变上包层的环境。论文把最小特征尺寸限制在 50 nm 以上，并用 EBL/ICP 制备，目的就是把这些几何量控制在可重复的范围内。更一般地，纳米制备中的随机几何偏差会改变超表面共振的幅度和品质因子，即使偏差不大也可能显著降低性能；这是所有超表面器件都要面对的共性问题，金膜等离激元结构也不例外。

但“制造误差”与“标定”的关系需要分清。计算光谱仪重建时用的是实测矩阵 \(\mathbf{T}\)，不是设计仿真的矩阵。只要器件的偏差是静态的、100 个单元各自的谱在标定中被逐条记录下来，这些静态偏差就已经包含在 \(\mathbf{T}\) 里，重建算法会把它们当作仪器的“基线”一并处理。换句话说，标定可以把“做出来的器件和设计不一样”这件事吸收掉很大一部分；它吸收不了的是“标定之后 \(\mathbf{T}\) 又变了”，比如角度改变、温度漂移、器件老化或封装应力。

这正是角度问题特殊的地方。假设在 0° 标定了 \(\mathbf{T}(0^\circ)\)，测量时入射角变成 15°，实际矩阵是 \(\mathbf{T}(15^\circ)\)，而算法还用 \(\mathbf{T}(0^\circ)\) 去解，残差就会进入光谱。论文的设计目标是让 \(\mathbf{T}(15^\circ)\) 尽量接近 \(\mathbf{T}(0^\circ)\)，实测的 3.72% 就是这个接近程度的度量。论文把 0°、5°、10°、15° 的标定都做了，但正文没有明确写出重建时使用的是哪一个角度的矩阵；按计算光谱仪的常规做法，应使用对应角度的矩阵。因此，98% 的保真度证明的是“角度不敏感设计 + 角度匹配标定”的组合，不是“完全不用管角度”的免标定仪器。

实测：3.72% 与 98% 分别在说什么

实验部分制备了 900 个金超表面单元，其中 100 个用于重建。图 4(a) 是器件照片和光学图像，4(b) 是四个单元的 SEM；这些单元的形状由优化算法生成，不是规则圆孔。四个单元在 0°、5°、10°、15° 的标定谱画在 4(c) 里；论文对 100 条谱做统计，得到 0° 与 15° 的平均相对差异为 3.72%。

图 4：制备器件与角度标定实验。(a) 900 个超表面单元的器件照片与光学图像；(b) 四个单元的 SEM；(c) 四个单元在 0°、5°、10°、15° 的标定透射谱；(d) LED 光谱在 0° 与 15° 的重建结果。

3.72% 这个数字描述的是“100 条谱在 0° 与 15° 之间平均差了多少”，它是一个谱形差异，不是波长漂移，也不是分辨率。它比仿真的 0.98% 大 3.8 倍，说明实际器件的角度响应没有仿真那么理想；但 3.72% 仍然是一个不大的数，和图 3(c) 里 c-Si 对照的 23.18% 不在一个量级。

98% 则是另一个口径。论文把 LED 光谱在 0° 和 15° 下重建，和商用 OceanView QE Pro 的参考谱比较，报告 15° 下保真度约 98%；0° 的曲线也给出，但正文没有单独列数。保真度用 \(l_2\) 归一化后的内积定义：

这个量衡量的是两条谱“形状像不像”，对整体缩放不敏感。它对宽带、平滑的 LED 谱比较宽容；如果换成一条窄线或一个弱吸收峰，同样的矩阵误差可能带来更大的相对偏差。正文没有报告窄线测试，也没有给出波长误差或瑞利判据下的分辨率，所以 98% 不能外推成“能分辨多细的谱线”。

还需要注意实验的标定方式。论文在 0°、5°、10°、15° 分别标定了透射谱，但正文没有给出“用 0° 的矩阵去解 15° 数据”的对比，也没有说明重建时具体用了哪一条矩阵。这个细节很重要：3.72% 和 98% 一起说明的是，器件在 30° 视场内、按角度标定后可以稳定工作；它没有单独证明“只标定一次，随便什么角度都能用”。后者需要额外的跨角度重建实验，论文没有做。

指标要分开看：线宽、分辨率、采样与保真度

这篇论文的数字不多，但很容易被读成一个“分辨率”或一个“精度”。下面把几个量拆开。

表 1：这篇论文涉及的几个指标及其口径。

先看线宽与分辨率。正文没有给单条透射谱的 FWHM，也没有做双线分辨实验；它用的是 100 条彼此不同、彼此重叠的宽带谱，靠矩阵反演来区分波长。单条谱的宽度会影响可区分性，但系统分辨率还取决于 100 条谱的独立性、噪声和算法。把某条谱的宽度当成“分辨率”，会低估多通道联合编码的能力；把 98% 当成“分辨率”，又会高估实际能分开的波长间隔。

再看采样间隔。仿真里的 301 个点、约 1 nm 的间隔，是为了把积分方程离散成矩阵；它说明计算时用了多细的网格，不说明仪器能分辨 1 nm。实测只有 100 个滤光单元，谱响应又很宽，真正的信息量由这 100 条谱的独立性和信噪比决定。角度标定的 5° 步进也是同理：它说明实验在哪些角度取了矩阵，不说明器件只能以 5° 为单位工作。

角度容限与实验范围也要分开。48° 是 RCWA 仿真在“平均相对差异达到 10%”这一判据下的结果，实验只验证到 15°。把 48° 写成“实测视场”会超出论文证据；把 15° 写成“设计极限”又会低估优化结果。比较稳妥的说法是：设计在 10% 差异下可到 48°，实验在 30° 视场内完成了标定与重建验证。

最后是保真度与波长精度。98% 是一个整体谱形的余弦相似度，它可以很高，同时峰位仍有偏差；反过来，峰位很准，也可能因为强度分布不同而保真度不高。正文没有给出峰位误差统计，所以不能把 98% 换算成“±多少纳米”。如果应用关心的是识别某个窄吸收峰的位置，需要的是波长精度和分辨率，而不是这条 LED 谱的保真度。

意义与展望

这篇论文把“角度不敏感”从一个事后补偿的问题，变成了超原子设计阶段的目标函数。它的做法没有给光谱仪加角度传感器或校正算法；它让金孔和金柱的局域模式本身少受入射角影响，再用自由形状和遗传算法在“角度稳定”和“谱多样”之间找一组 100 个单元。这个思路对计算光谱仪有普遍意义：测量矩阵不只要“可区分”，还要“在实际使用条件下可复现”。

从这篇工作出发，还有几项具体的验证要做。第一，补上窄线/双线测试，给出瑞利判据下的分辨率和峰位误差；现在的 98% 只说明宽带 LED 谱的形状吻合，不能回答“两条相距 1 nm 的线能不能分开”。第二，把角度范围从 15° 扩展到更大视场，并报告不同角度下用同一矩阵重建的误差；这会直接检验“角度不敏感”到底是设计值还是可用值。第三，做制造误差的分解实验：同一批次不同芯片、同一芯片不同单元、不同金膜厚度/临界尺寸，分别测谱，才能把 3.72% 里的制备、装调和测量重复性分开。第四，检查偏振、温度和长期稳定性；论文的谱是平均偏振响应，实际镜头和样品可能带来偏振变化，封装后的热漂移也会让标定矩阵过期。第五，把 100 个单元扩展成二维阵列，验证快照光谱成像的空间—光谱串扰；这是从“一台光谱仪”走向“一台光谱相机”必须回答的问题。

对使用微型光谱仪的人来说，这篇论文给出的实用提醒是：看到“角度不敏感”时，先问三个问题——实验验证到多大角度、标定是在哪些角度做的、保真度是用什么谱测的。三个答案合起来，才能判断这台仪器在自己的场景里需不需要频繁重标。对设计者来说，更值得借鉴的是把“矩阵随环境的变化”当作和“矩阵本身的多样性”同等重要的设计指标；只优化正入射下的谱，等到装进镜头再补角度校正，往往会在标定环节付出更大的代价。

参考资料

1. Yang J, Cui K, Huang Y, Zhang W, Feng X, Liu F. Angle-Insensitive Spectral Imaging Based on Topology-Optimized Plasmonic Metasurfaces. Laser & Photonics Reviews, 2024, 18(12): 2400255. https://doi.org/10.1002/lpor.202400255
2. 同上论文的作者版：https://arxiv.org/abs/2212.07813 （CC BY 4.0；本文全文与图片依据此版本）
3. Zhang Y, Yang E, Yoon H H, Cheng Q, Sun Z, Hasan T, Cai W. Reconstructive spectrometers: hardware miniaturization and computational reconstruction. eLight, 2025, 5: 23. https://doi.org/10.1186/s43593-025-00101-0
4. Wu Y R, Hollowell A E, Zhang C, Guo L J. Angle-Insensitive Structural Colours based on Metallic Nanocavities and Coloured Pixels beyond the Diffraction Limit. Scientific Reports, 2013, 3: 1194. https://doi.org/10.1038/srep01194
5. Kühne J, Wang J, Weber T, Kühner L, Maier S A, Tittl A. Fabrication robustness in BIC metasurfaces. Nanophotonics, 2021, 10(17): 4305–4312. https://doi.org/10.1515/nanoph-2021-0391