等倾干涉原理：均匀薄膜的同心圆环与膜厚测量

一句话结论：厚度均匀的薄膜仍会出现同心干涉环，因为光程差 \(2n_2d\cos\theta_2\) 只由倾角决定；环半径的平方与环序号成正比，斜率里含 \(f^2\lambda n_2/d\)，可以用来反推平板厚度。

从肥皂膜的颜色说起

肥皂泡和雨天路面的油膜泛着彩色，这是薄膜干涉最常见的面孔。光在膜的上表面反射一部分，另一部分穿进膜内、在下表面反射后再出来，两束反射光叠加，某些波长被加强、另一些被削弱，于是显出颜色。这类彩色条纹大多来自厚度变化：膜被拉薄、被推开的地方厚度不同，不同厚度对应不同的加强波长，所以颜色沿着膜面流动。这样的条纹叫等厚条纹，牛顿环和两块玻璃间楔形空气膜产生的条纹都属于这一类。

图 1：肥皂泡在灯光反射下呈现的彩色图样，不同颜色来自膜厚变化导致的不同波长加强。

但换一个做法，结果会出乎意料。取一块厚度处处相同的平行平板，用一盏面光源（或者把激光扩束后打在毛玻璃上）照射它，再把眼睛或相机对焦到无穷远，你会看到一组以法线方向为中心的同心圆环。厚度没有变，颜色却随角度排成了环，这类条纹叫等倾条纹（fringes of equal inclination，历史上也称海丁格条纹）。它要回答的问题正是：厚度到处一样，光程差为什么还会随观察方向改变？

光程差从哪里来

先跟着一束光走一遍。设薄膜厚度为 \(d\)、折射率为 \(n_2\)，两侧都是空气（\(n_1=n_3=1\)）。入射光以 \(\theta_1\) 从空气射到膜面，一部分在上表面直接反射（记为光 1），一部分折射进膜内、以 \(\theta_2\) 传播到下表面，反射后回到上表面再折射出去（记为光 2）。两束光最终平行地离开膜面，在上方相遇。

光 2 比光 1 多走的是膜内的一去一回。由折射定律 \(n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\)，加上两束光出射时波前要取同一等相位面的几何修正，两束光的光程差可以整理成

这个式子有一个容易看漏的地方：光程差不是 \(2n_2d\)，而是 \(2n_2d\cos\theta_2\)。\(\cos\theta_2\) 这一项说明，光程差不仅由厚度决定，还由光在膜内的倾角决定，这正是等倾条纹的起点。

图 2：入射光在薄膜上表面反射一束，另一束折射进膜内、在下表面反射后出射；两束光之间的光程差为 \(2n_2d\cos\theta_2\)。

还剩一个相位来源。光从折射率较小的介质射向较大的介质并在界面反射时，反射光的相位会跃变 \(\pi\)，相当于多走半个波长，这叫半波损失。对一层夹在空气中的膜，上界面是空气射向膜（\(1<n_2\)），有 \(\pi\) 跃变；下界面是膜射向空气（\(n_2>1\)），没有跃变。两束光之间净多出半个波长，于是明暗条件是

这里 \(m\) 取整数。两式只差半个波长的约定，后面统一按“计入半波损失”的这一组使用。

为什么厚度均匀还会有条纹

厚度 \(d\) 不变，但 \(\theta_2\) 随入射方向连续变化：正入射时 \(\theta_2=0\)，\(\cos\theta_2=1\)，光程差取最大；越斜着入射，\(\theta_2\) 越大，\(\cos\theta_2\) 越小，光程差越小。面光源的好处是它同时提供所有方向的光，每个方向各自满足或接近自己的明暗条件。同一个倾角对应同一个光程差、同一条纹，所以条纹是“等倾线”而不是“等厚线”，这正是等倾干涉这一名字的来由。

由此可以读出圆环的顺序。在中心（\(\theta_2=0\)）光程差最大，等于 \(2n_2d\)，对应的干涉级次最高：

离开中心，光程差减小，级次随之降低。相邻两条亮环之间光程差正好相差一个波长，所以从中心向外数，环的级次一级一级往下掉。中心本身是亮是暗，取决于 \(m_0\) 的小数部分：\(2n_2d/\lambda\) 接近半整数时中心亮，接近整数时中心暗。这也是同一块平板换用不同波长时中心明暗会变的原因。

为什么定域在无穷远

等倾条纹有一个必须配合的观察条件：两束反射光离开膜面后是平行的，平行光只在无穷远处相交，所以条纹定域在无穷远。人眼自然放松（相当于对焦到无穷远），或者用一只会聚透镜，让不同倾角的平行光分别会聚到焦面上的不同点，才能在焦面上看到清晰的圆环。若把相机直接对焦在膜面上，看到的是一片大致均匀的视场，圆环反而模糊。

这一点正是等倾与等厚的分界。等厚条纹的两束光在膜面附近就已相交，定域在膜面（或非常靠近膜面的地方），所以牛顿环要对准玻璃接触处观察；等倾条纹定域在无穷远，必须让眼睛看远处或加透镜。同一套装置里，这两个定域位置不会同时落在清晰的焦面上。

图 3：平行平板上下表面反射的两束光以同一倾角平行出射，被透镜会聚到焦面上的同一点；不同倾角对应焦面上不同半径，形成同心圆环。

圆环的规律与数值代入

把 \(\cos\theta_2\) 在小角度下展开。利用 \(\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\)，当入射角不大时可以取 \(\theta_2\approx\theta_1/n_2\)，于是

代回光程差，相对中心级次差为 \(p\) 的亮环满足

\(p\) 是从中心算起的级次差，一般不是整数（因为中心级次 \(m_0\) 通常带小数）。好在这不妨碍测量：任意两条亮环相减，把中心零点消掉，

在焦距为 \(f\) 的透镜焦面上，环半径 \(r_p\approx f\theta_p\)，于是 \(r_p^2\) 与环序号的差也成同样的比例。

代入一组具体数字核对。取 \(n_2=1.50\)、\(d=1.00\ \mathrm{mm}\)、\(\lambda=589\ \mathrm{nm}\)（钠黄光）、\(f=100\ \mathrm{mm}\)：中心级次 \(m_0=2n_2d/\lambda=5093.38\)；相邻亮环的角半径平方差为 \(\lambda n_2/d=8.835\times10^{-4}\ \mathrm{rad^2}\)，换到焦面上，相邻亮环的 \(r^2\) 之差约为 \(f^2\lambda n_2/d=8.8\ \mathrm{mm^2}\)，与中心级次是否恰好落在亮环上无关。用完整的菲涅耳反射公式逐角计算反射率作独立核对，第一个极大出现在 \(1.5965^\circ\)；本例中心级次的小数部分是 0.879，按近似式 \(\theta=\sqrt{0.879\lambda n_2/d}\) 得到 \(1.5967^\circ\)，两者一致，说明在这个厚度和角度范围里小角近似可靠。\(\pm5^\circ\) 视场内大约能排下八九条环。

环的疏密也从这条式子读出来。\(d\) 越大，同一角度范围内能容纳的级次差越多，环越密；\(d\) 很小时，相邻环之间要张开十几度，普通视场里基本只剩中心附近。一层 10 μm 的膜就属于后一种情形，所以几微米厚的膜通常展示的是等厚彩色条纹，而不是等倾环。

图 4：冷却氘灯光源下法布里–珀罗标准具的同心环，不同环对应不同倾角，环上的细小结构来自光源的精细光谱。

等倾与等厚：一张表分清

表 1：等倾干涉与等厚干涉的对照。

两类条纹并不是互斥的。真实平板总有微小的厚度起伏，也总会同时存在倾角变化，最终看到哪一种，取决于哪个量的变化在光程差里占主导；平板越接近理想平行、光源越发散，等倾环就越干净。

把它当尺子用：膜厚、折射率与平行度

等倾环的规律可以反过来当测量工具。已知折射率 \(n_2\) 和波长 \(\lambda\)，在焦面上量出第 \(p\) 环与第 \(q\) 环的半径，斜率

就把厚度 \(d\) 定了下来。仍用前面的数字：\(k=8.8\ \mathrm{mm^2}\) 对应 \(d=1.00\ \mathrm{mm}\)；如果实测斜率是 \(7.4\ \mathrm{mm^2}\)，同一套参数下 \(d\) 约为 1.19 mm。反过来，若厚度已知，同样的关系可以用来测折射率，等倾环直接给出的是乘积 \(n_2d\) 的信息，要拆开两者，需要另一个已知条件。

它适合毫米到厘米量级的平行平板、标准具间隔和晶体片，而不是几微米厚的薄膜：后者环太稀疏，厚度测量通常改用等厚条纹、光谱反射或椭偏法。斐索干涉仪把一块参考面正对被测面，用准直单色光照明，两面的反射光形成条纹，可以直接看出被测面的面形偏差；参考元件带一点楔角，是为了把后表面的杂散反射引开。反射率更高的法布里–珀罗标准具则把同一原理做成窄而锐的环，用精细度衡量它的选频能力，是光谱分析和激光选频的常用器件。

使用时有几处需要留意。\(\theta_p^2\approx p\lambda n_2/d\) 是小角近似，角度大时要回到完整的 \(2n_2d\cos\theta_2\)；材料的折射率随波长变化，换光源要同步换 \(n_2\)；环的序号要靠中心级次判断，而中心级次通常带小数，所以实际测量更稳妥的做法是比较两条相隔已知环数的环，而不是从中心硬数。温度和应力会同时改变厚度与折射率，长时间测量的漂移也来自这里。

常见误解

误以为厚度均匀的薄膜不会产生干涉条纹。 实际上等倾条纹恰恰要求厚度均匀：光程差 \(2n_2d\cos\theta_2\) 由倾角决定，面光源里每个倾角各贡献一条条纹，厚度不均匀反而会把圆环搅乱。

误以为等倾环和牛顿环可以在同一个对焦位置同时看清。 它们的定域位置不同。牛顿环定域在玻璃接触处附近，要对准膜面看；等倾环定域在无穷远，眼睛要放松或加会聚透镜，把相机对在膜面上只会得到模糊的环。

误以为环半径与环序号成正比。 成正比的是半径的平方：\(\theta_p^2\propto p\)，所以半径按 \(\sqrt{p}\) 增长，环在中心附近稀疏、越往外越密，这与牛顿环“内疏外密”的观感相似，但成因是倾角而非厚度。

误以为圆环的中心一定是亮点。 中心是亮是暗取决于 \(2n_2d/\lambda\) 的小数部分，接近半整数时中心亮，接近整数时中心暗；换一个波长或换一块稍厚的板，中心就可能反转。

参考资料

• Thin-film interference — Wikipedia
• Fizeau interferometer — Wikipedia
• Fabry–Pérot interferometer — Wikipedia
• University Physics Volume 3, §3.4 Interference in Thin Films — OpenStax
• Fizeau Interferometers — RP Photonics
• File:Thin-film-interference-(light-version).svg — Wikimedia Commons
• File:Interference of a parallel plate.png — Wikimedia Commons
• File:Fabry Perot Etalon Rings Fringes.png — Wikimedia Commons
• File:Thin Film Interference Soap Bubble.jpg — Wikimedia Commons