激光模式介绍

在光学工程领域，"激光"二字往往意味着高亮度、高方向性。但如果我们只把激光看作一条几何光线，那理解是表面的。但如果你调整一下激光器的谐振腔，或者激光经过某些晶体，你会惊讶地发现，光斑变了：有的变成了“甜甜圈”，有的变成了“田字格”，有的甚至像复杂的万花筒。这些不同的空间分布形态，就是激光的横模 (Transverse Modes)。今天我们来拆解一下这些模式背后的物理与数学之美。

第一章：高斯光束数学起源——傍轴波动方程

所有的光，首先必须满足麦克斯韦方程组。在均匀、各向同性的介质中，电场 \(\vec{E}\) 满足矢量波动方程：

\[\nabla^2 \vec{E} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0\]

1.1 亥姆霍兹方程

对于单色光（频率 \(\omega\)），我们可以分离时间项 \(\vec{E}(\vec{r}, t) = E(\vec{r}) e^{-i\omega t}\)，得到标量亥姆霍兹方程 (Helmholtz Equation)：

\[\nabla^2 E + k^2 E = 0\]

其中 \(k = \omega \sqrt{\mu \epsilon} = 2\pi / \lambda\) 是波数。

1.2 缓慢包络近似 (SVEA)

激光通常沿特定方向（设为 z 轴）传播，且发散角很小。我们可以假设解的形式为：

\[E(x, y, z) = u(x, y, z) e^{-ikz}\]

其中 \(e^{-ikz}\) 是快速振荡的平面波因子，而 \(u(x, y, z)\) 是缓慢变化的复振幅包络。

将此代入亥姆霍兹方程，我们得到：

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} - 2ik \frac{\partial u}{\partial z} = 0\]

傍轴近似 (Paraxial Approximation) 的核心在于：包络 \(u\) 随 \(z\) 的变化非常慢，远小于波长的尺度。因此，我们可以忽略二阶导数项 \(\left| \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right| \ll \left| 2k \frac{\partial u}{\partial z} \right|\)。

最终，我们得到了著名的傍轴波动方程：

\[\nabla_T^2 u - 2ik \frac{\partial u}{\partial z} = 0\]

其中 \(\nabla_T^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\) 是横向拉普拉斯算子。所有的激光模式，都是这个方程在不同坐标系下的本征解。

第二章：基模高斯光束 (\(TEM_{00}\))

在圆柱坐标系下求解上述方程，最简单的解就是基模高斯光束。它是激光器在理想状态下输出的模式。

2.1 完整的复振幅分布

\[E(r, z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( -\frac{r^2}{w(z)^2} \right) \exp \left( -i \left[ kz + \frac{k r^2}{2R(z)} - \zeta(z) \right] \right)\]

2.2 核心参数详解

这是工程师必须烂熟于心的四个公式：

束腰半径 (Beam Waist) \(w_0\)：光束最窄处的半径（强度降至 \(1/e^2\)）。它是光束的“源头”。
瑞利长度 (Rayleigh Range) \(z_R\)：
\[z_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}\]
光束截面积增加一倍（半径增加 \(\sqrt{2}\) 倍）的传播距离。\(z_R\) 越大，光束准直性越好。
光斑半径演化 \(w(z)\)：
\[w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left( \frac{z}{z_R} \right)^2}\]
在远场 (\(z \gg z_R\))，光束呈线性发散，发散半角为 \(\theta = \lambda / (\pi w_0)\)。这揭示了衍射极限：束腰越细，发散越快。
波前曲率半径 \(R(z)\)：
\[R(z) = z \left[ 1 + \left( \frac{z_R}{z} \right)^2 \right]\]
- \(z=0\) 时，\(R \to \infty\)（平面波）。
- \(z=z_R\) 时，\(R\) 最小（波前最弯）。
- \(z \to \infty\) 时，\(R \approx z\)（球面波）。
Gouy 相移 \(\zeta(z)\)：
\[\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_R} \right)\]
这是因光束横向限制而产生的额外轴向相移。光束从 \(-\infty\) 传到 \(+\infty\)，总共会比平面波多经历 \(\pi\) 的相位差。这对于计算激光谐振腔的共振频率至关重要。

更多高斯光束核心参数介绍，可参考激光物理笔记：从波动方程到高斯光束 (Gaussian Beam) 的完整推导与核心指标

第三章：复光束参数 q 与 ABCD 定律

在实际光学设计（如扩束镜、聚焦透镜设计）中，我们不会直接代入上面的公式，而是使用更强大的工具：q 参数。

3.1 q 参数的定义

我们将光斑半径 \(w(z)\) 和曲率半径 \(R(z)\) 统一到一个复数参数 \(q(z)\) 中：

\[\frac{1}{q(z)} = \frac{1}{R(z)} - i \frac{\lambda}{\pi w(z)^2}\]

这个定义的精妙之处在于，自由传播距离 \(z\) 后，q 参数的变化极简单：

\[q(z) = q_{0} + z = i z_R + z\]

3.2 ABCD 传输矩阵

当高斯光束通过任何傍轴光学系统（透镜、反射镜、介质界面）时，其 q 参数服从莫比乌斯变换 (Möbius transformation)：

\[q_{out} = \frac{A q_{in} + B}{C q_{in} + D}\]

其中 \(A, B, C, D\) 是射线光学中的传输矩阵元。 * 应用举例：透镜聚焦。透镜矩阵为 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{bmatrix}\)。代入公式即可计算出聚焦后的新束腰位置和大小。这是 ZEMAX 等软件计算高斯光束传播的核心算法。

第四章：厄米-高斯模式 (\(HG_{mn}\))

当激光谐振腔具有矩形对称性（例如腔内放置了布儒斯特窗，或者晶体是长方体），波动方程在笛卡尔坐标系 \((x,y,z)\) 下分离变量。

4.1 物理描述

解可以表示为 \(u(x,y,z) = u_m(x,z) u_n(y,z)\)。复振幅表达式为：

\[E_{mn} = E_0 \frac{w_0}{w(z)} H_m \left( \frac{\sqrt{2}x}{w} \right) H_n \left( \frac{\sqrt{2}y}{w} \right) e^{-\frac{r^2}{w^2}} e^{-ikz - i\frac{kr^2}{2R} + i(m+n+1)\zeta(z)}\]

4.2 厄米多项式 \(H_n\)

光斑的形状由厄米多项式决定： * \(n=0: H_0(x) = 1\) (高斯) * \(n=1: H_1(x) = 2x\) (中心过零点，分为两瓣) * \(n=2: H_2(x) = 4x^2 - 2\) (三瓣，旁瓣小，主瓣大) * \(n=3: H_3(x) = 8x^3 - 12x\)

4.3 物理意义

简并破除：注意相位因子 \((m+n+1)\zeta(z)\)。高阶模的 Gouy 相移更大。这意味着在同一个谐振腔中，不同横模的共振频率略有不同。
正交性：不同阶数的 HG 模式在全空间内是正交的。这意味着如果不受微扰，它们之间不会发生能量耦合。

第五章：拉盖尔-高斯模式 (\(LG_{pl}\))

当系统具有圆柱对称性（如光纤、完美圆形的透镜），我们在 \((r, \phi, z)\) 坐标系下求解。

5.1 轨道角动量 (OAM) 的引入

LG 模式最引人注目的特征是其螺旋相位项 \(\exp(-il\phi)\)。

\[E_{pl} \propto \left( \frac{r\sqrt{2}}{w} \right)^{|l|} L_p^{|l|} \left( \frac{2r^2}{w^2} \right) e^{-\frac{r^2}{w^2}} e^{-il\phi} e^{i(2p+|l|+1)\zeta(z)}\]

5.2 参数解读

\(p\) (径向指数)：决定了沿半径方向的光环数量 (\(p+1\) 个环)。
\(l\) (拓扑荷数/角向指数)：
- 决定了相位的螺旋速度。
- 决定了中心的暗核大小（离心势垒）。
- 每个光子携带 \(l\hbar\) 的轨道角动量。

5.3 产生与应用

产生：使用螺旋相位板 (Spiral Phase Plate) 或空间光调制器 (SLM) 将基模高斯光束转换为 LG 模式。
应用：
- STED 显微镜：利用甜甜圈光束擦除荧光，突破衍射极限。
- 光通信：利用 \(l\) 的无限正交性进行空分复用 (MDM/OAM Multiplexing)。

第六章：工程指标——光束质量 \(M^2\)

现实中的激光器输出的永远不是纯净的基模，而是多种模式的混合。工程师如何量化这束光“好不好用”？答案是 \(M^2\) 因子。

6.1 定义

实际光束的束腰宽度 \(W_{real}\) 和远场发散角 \(\Theta_{real}\) 的乘积（光束参数积 BPP），与理想高斯光束的 BPP 之比：

\[M^2 = \frac{W_{real} \Theta_{real}}{w_0 \theta_0} \ge 1\]

6.2 物理含义

\(M^2 = 1\)：衍射极限，完美高斯光束。
\(M^2 > 1\)：光束质量变差。例如，\(M^2 = 1.5\) 的光束，在同样的透镜聚焦下，焦点光斑面积是基模的 1.5 倍（或者直径是 \(\sqrt{1.5}\) 倍）。

6.3 模式含量与 \(M^2\)

对于纯的高阶模，\(M^2\) 会显著增大： * \(TEM_{00} \to M^2 = 1\) * \(TEM_{01} \to M^2 = 3\) * \(TEM_{nm} \to M^2 \approx 2n+1\) 这就是为什么在激光切割、打标应用中，我们极力抑制高阶模，追求基模输出。

第七章：MATLAB 仿真实现

为了让这篇手册具有实战意义，附上通用的模式生成代码。

function plot_laser_mode(type, m, n, w0, z)
    % PLOT_LASER_MODE 仿真并绘制激光横模光场分布
    %
    % 参数说明:
    %   type : 模式类型，可选 'TEM00', 'HG', 'LG'
    %   m    : 
    %          - 对于 'HG' 模式，代表 x 方向阶数 (m)
    %          - 对于 'LG' 模式，代表径向指数 (p)
    %          - 对于 'TEM00'，此参数被忽略（可填 0）
    %   n    : 
    %          - 对于 'HG' 模式，代表 y 方向阶数 (n)
    %          - 对于 'LG' 模式，代表角向指数/拓扑荷数 (l)
    %          - 对于 'TEM00'，此参数被忽略（可填 0）
    %   w0   : 束腰半径 (单位: 米)，例如 1e-3 (1mm)
    %   z    : 传播距离 (单位: 米)，例如 0.5 (50cm)
    %
    % ================= 参数调用案例 (Example Usage) =================
    % 1. 绘制基模高斯光束 (TEM00)
    %    plot_laser_mode('TEM00', 0, 0, 1e-3, 0.5);
    %
    % 2. 绘制厄米-高斯模式 (HG 1,0) -> 像两个并排的光斑
    %    plot_laser_mode('HG', 1, 0, 1e-3, 0.5);
    %
    % 3. 绘制“田”字形模式 (HG 1,1)
    %    plot_laser_mode('HG', 1, 1, 1e-3, 0.5);
    %
    % 4. 绘制甜甜圈光束 (LG p=0, l=1) -> 携带轨道角动量
    %    plot_laser_mode('LG', 0, 1, 1e-3, 0.5);
    %
    % 5. 绘制复杂多环 LG 模式 (LG p=2, l=3)
    %    plot_laser_mode('LG', 2, 3, 1e-3, 0.5);
    % ==============================================================

    % --- 1. 物理常数与参数初始化 ---
    lambda = 1064e-9;       % 波长 (1064nm)
    k = 2 * pi / lambda;    % 波数
    zR = pi * w0^2 / lambda; % 瑞利长度

    % 计算 z 处的高斯光束参数
    w_z = w0 * sqrt(1 + (z/zR)^2);      % 光斑半径
    R_z = z * (1 + (zR/z)^2);           % 曲率半径
    zeta = atan(z/zR);                  % Gouy 相移基量

    % --- 2. 建立空间网格 ---
    % 自动调整绘图范围，确保能包住高阶模
    % 高阶模比基模更宽，大致系数 sqrt(m+1) 或 sqrt(l+1)
    scale_factor = 1.5 * sqrt(max([m, n, 1]) + 1); 
    L = scale_factor * w_z; 
    N_points = 400;                     % 网格分辨率
    [X, Y] = meshgrid(linspace(-L, L, N_points));
    [PHI, R] = cart2pol(X, Y);

    % --- 3. 计算基模高斯因子 (公共部分) ---
    % 幅度项 * 相位曲率项 * 平面波相位
    G = (w0 / w_z) * exp(-R.^2 / w_z^2) .* exp(-1i * (k*z + k*R.^2 / (2*R_z)));

    % --- 4. 根据模式类型计算完整复振幅 E ---
    if strcmpi(type, 'TEM00')
        % === TEM00 基模 ===
        % Gouy 相移因子: exp(i * zeta)
        gouy_phase = exp(1i * zeta);
        E = G .* gouy_phase;
        title_str = 'TEM_{00} Mode';

    elseif strcmpi(type, 'HG')
        % === HG 厄米-高斯模式 ===
        % 厄米多项式需归一化变量 sqrt(2)x/w
        u_x = sqrt(2) * X / w_z;
        u_y = sqrt(2) * Y / w_z;

        % 计算 Hermite 多项式 (调用自定义或 MATLAB 内置 hermiteH)
        H_m = hermiteH_func(m, u_x);
        H_n = hermiteH_func(n, u_y);

        % Gouy 相移: (m + n + 1) * zeta
        gouy_phase = exp(1i * (m + n + 1) * zeta);

        E = G .* H_m .* H_n .* gouy_phase;
        title_str = sprintf('HG_{%d%d} Mode', m, n);

    elseif strcmpi(type, 'LG')
        % === LG 拉盖尔-高斯模式 ===
        p = m; l = n; % 映射参数名

        % 归一化半径变量 2r^2/w^2
        rho_sq = 2 * R.^2 / w_z^2;

        % 径向项 (sqrt(2)r/w)^|l|
        term_radial = (sqrt(2) * R / w_z).^abs(l);

        % 广义拉盖尔多项式 L_p^|l|
        L_pl = laguerreL_func(p, abs(l), rho_sq);

        % 螺旋相位项 exp(-i*l*phi)
        phase_spiral = exp(-1i * l * PHI);

        % Gouy 相移: (2p + |l| + 1) * zeta
        gouy_phase = exp(1i * (2*p + abs(l) + 1) * zeta);

        E = G .* term_radial .* L_pl .* phase_spiral .* gouy_phase;
        title_str = sprintf('LG_{p=%d}^{l=%d} Mode', p, l);
    else
        error('未知模式类型。请使用 ''TEM00'', ''HG'' 或 ''LG''。');
    end

    % --- 5. 绘图 ---
    figure('Color', 'w', 'Position', [100, 100, 1000, 400]);
    colormap('hot');

    % 强度图 (Intensity)
    subplot(1, 2, 1);
    imagesc(linspace(-L, L, N_points), linspace(-L, L, N_points), abs(E).^2);
    axis square; axis xy;
    colorbar;
    xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
    title([title_str, ' - Intensity I(x,y)']);

    % 相位图 (Phase)
    subplot(1, 2, 2);
    % 这里的相位加了 pi 是为了视觉效果更好（可选）
    phase_plot = angle(E);
    imagesc(linspace(-L, L, N_points), linspace(-L, L, N_points), phase_plot);
    axis square; axis xy;
    colorbar;
    % 使用 hsv 或 jet 色图更能体现相位的循环特性
    colormap(gca, 'jet'); 
    xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
    title([title_str, ' - Phase \phi(x,y)']);

    sgtitle(['Beam Parameters: w_0 = ' num2str(w0*1e3) 'mm, z = ' num2str(z) 'm']);
end

% --- 辅助函数：简易 Hermite 多项式 ---
function H = hermiteH_func(n, x)
    if n==0, H = ones(size(x));
    elseif n==1, H = 2*x;
    elseif n==2, H = 4*x.^2 - 2;
    elseif n==3, H = 8*x.^3 - 12*x;
    else
        % 递归计算高阶 (H_{n+1} = 2xH_n - 2nH_{n-1})
        H_nm1 = 2*x;    % H1
        H_nm2 = ones(size(x)); % H0
        for k = 2:n
            H = 2*x.*H_nm1 - 2*(k-1)*H_nm2;
            H_nm2 = H_nm1;
            H_nm1 = H;
        end
    end
end

% --- 辅助函数：简易广义 Laguerre 多项式 ---
function L = laguerreL_func(p, l, x)
    if p==0
        L = ones(size(x));
    elseif p==1
        L = 1 + l - x;
    elseif p==2
        L = 0.5 * ( (l+1)*(l+2) - 2*(l+2)*x + x.^2 );
    else
        % 如需更高阶，建议调用 MATLAB Symbolic Toolbox 的 laguerreL
        % 这里仅提供 p=0,1,2 的解析式以减少对工具箱的依赖
        error('本简易代码仅支持 p <= 2，请使用 MATLAB 工具箱函数 laguerreL');
    end
end

比如，运行第五个案例，“5. 绘制复杂多环 LG 模式 (LG p=2, l=3) plot_laser_mode('LG', 2, 3, 1e-3, 0.5);”，

第一章：高斯光束数学起源——傍轴波动方程

1.1 亥姆霍兹方程

1.2 缓慢包络近似 (SVEA)

第二章：基模高斯光束 (\(TEM_{00}\))

2.1 完整的复振幅分布

2.2 核心参数详解

第三章：复光束参数 q 与 ABCD 定律

3.1 q 参数的定义

3.2 ABCD 传输矩阵

第四章：厄米-高斯模式 (\(HG_{mn}\))

4.1 物理描述

4.2 厄米多项式 \(H_n\)

4.3 物理意义

第五章：拉盖尔-高斯模式 (\(LG_{pl}\))

5.1 轨道角动量 (OAM) 的引入

5.2 参数解读

5.3 产生与应用

第六章：工程指标——光束质量 \(M^2\)

6.1 定义

6.2 物理含义

6.3 模式含量与 \(M^2\)

第七章：MATLAB 仿真实现

留言与讨论

理解一个原理，再追问下一个问题。

第一章：高斯光束数学起源——傍轴波动方程

1.1 亥姆霍兹方程

1.2 缓慢包络近似 (SVEA)

第二章：基模高斯光束 (\(TEM_{00}\))

2.1 完整的复振幅分布

2.2 核心参数详解

第三章：复光束参数 q 与 ABCD 定律

3.1 q 参数的定义

3.2 ABCD 传输矩阵

第四章：厄米-高斯模式 (\(HG_{mn}\))

4.1 物理描述

4.2 厄米多项式 \(H_n\)

4.3 物理意义

第五章：拉盖尔-高斯模式 (\(LG_{pl}\))

5.1 轨道角动量 (OAM) 的引入

5.2 参数解读

5.3 产生与应用

第六章：工程指标——光束质量 \(M^2\)

6.1 定义

6.2 物理含义

6.3 模式含量与 \(M^2\)

第七章：MATLAB 仿真实现

留言与讨论

理解一个原理，再追问下一个问题。

继续探索

高斯光束原理：腰斑、瑞利长度与光束质量 M²

激光物理笔记：从波动方程到高斯光束 (Gaussian Beam) 的完整推导与核心指标

激光原理中的光学：本周六篇的横向对比