光的矩阵运算：MZI 网格如何把矩阵乘法写进芯片
引言：光计算的两条路线
上一篇文章解读的 D2NN 走的是”衍射”路线：光穿过多层衍射面，传播过程本身就是一次前向推理，网络权重被”冻结”在器件结构里。这条路线最大的优点是推理速度接近光速、没有电子计算参与；但它也有一个明显短板——权重一旦刻进结构就固定了，想换一个任务就得重新设计制造。
这篇文章介绍的是另一条路线：干涉型可编程光计算。它的核心器件是马赫-曾德尔干涉仪（Mach-Zehnder interferometer，MZI）——一个在光通信里用了半个世纪的”老熟人”。把它排列成网格，再配上可调的相位器，就能在同一块芯片上实现可编程的矩阵乘法：今天算这个矩阵，明天改几个电压，同一块芯片就能算那个矩阵。
单个 MZI：一个可以”拧”的光学分束器
MZI 的结构非常简单：光进来后先被第一个分束器分成两路，两路各自走过一段光程，再在第二个分束器处合束干涉。如果两臂之间有相位差 $\varphi$，那么两个输出端口的功率之比就是
$$P_{\text{out1}} = P_{\text{in}} \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right), \qquad P_{\text{out2}} = P_{\text{in}} \sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)$$
换句话说，一个 MZI 就是一个旋钮：拧动相位 $\varphi$，光能就在两个输出口之间连续分配。
图 1：MZI 结构示意：两个分束器夹着两条干涉臂，相位差 φ 决定两个输出端口的功率分配。
图 2：MZI 透射率随相位差变化的曲线：输出功率按 cos²(φ/2) 在端口间分配，φ=0 时全光进入一个端口，φ=π 时平分。
在实际硅光芯片上，这个”旋钮”通常由热光移相器实现——在一条臂上贴着微加热器，通电后局部温度升高、折射率改变，等效于改变 $\varphi$。控制电压就是控制相位，控制相位就是控制光往哪边走。这就是”可编程”最底层的含义。
从单个 MZI 到矩阵：Reck 分解与 SVD
单个 MZI 只能处理两路光，做不了矩阵。但级联起来就不一样了。1994 年 Reck 等人证明了一个关键结论：任何 N×N 的酉矩阵，都可以分解成一系列”2×2 旋转 + 移相器”的级联。而每一个 2×2 旋转，恰好就是一个 MZI 能干的事。
于是硅光芯片上的做法很直接：把 MZI 摆成规则的三角或矩形网格，每一个 MZI 对应矩阵分解中的一个旋转，每一个移相器对应一个可调参数。整块网格的传输矩阵就是所有 MZI 的乘积——也就是你要的那个酉矩阵。
图 3：硅光 MZI 调制器结构示意：输入光被分束、一臂移相、再合束，输出随相位变化。
那非酉矩阵怎么办？机器学习里的矩阵不都是酉的。答案是用奇异值分解（SVD）：任意实数矩阵 $M$ 都可以写成
$$M = U ; \Sigma ; V^{\dagger}$$
其中 $U$、$V$ 是酉矩阵，可以用两组 MZI 网格实现；$\Sigma$ 是对角矩阵，对应一路路的增益或衰减，用可调衰减器实现。三者串起来，一块芯片就”算”出了 $M$ 与输入向量的乘积。
2017 年 MIT 的 Shen 等人就在硅光芯片上用这套方案实验演示了语音分类：光载着输入信号穿过 MZI 网格，输出端的光强分布直接给出分类结果。2022 年 Ashtiani 等人更进一步，把 MZI 网格、光电探测和后续处理集成到同一颗芯片上，完成了片上图像分类。
非线性的难题：为什么总要”电”帮一把
到这里，MZI 网格解决的还只是线性部分——矩阵乘法。但神经网络不能只有线性变换：没有非线性激活函数，多少层线性网络叠加起来还是一个线性网络，表达能力有限。
光学里做非线性比电子里难得多。材料的非线性效应要么太弱（需要很高功率），要么太慢（跟不上高速推理）。目前最实用的方案是光电混合：MZI 网格在光域完成矩阵乘法，输出被光电探测器转成电信号，电子电路做非线性激活（比如 ReLU），再调制回光进入下一层。2022 年 Ashtiani 的芯片走的正是这条路线。
这也是 MZI 网格和 D2NN 的一个关键差异：D2NN 追求”全光、无电”，但缺少非线性；MZI 网格牺牲了”纯光”的纯粹性，换来的是可编程性和实用的非线性路径。
一张表看清：MZI 网格 vs D2NN
表 1：干涉型 MZI 网格与衍射型 D2NN 的对比
| 对比维度 | MZI 网格（干涉型） | D2NN（衍射型） |
|---|---|---|
| 权重实现 | 移相器相位（电可调） | 衍射层几何结构（固定） |
| 可编程性 | 强：改电压即换任务 | 弱：重新设计制造 |
| 非线性 | 需光电混合方案 | 需外接或材料非线性 |
| 集成方式 | 硅光芯片，CMOS 工艺 | 衍射层 + 探测器 |
| 典型速度瓶颈 | 移相器调谐速度 | 光传播本身接近光速 |
| 适用场景 | 需频繁重配置的任务 | 固定任务、极致低延迟 |
展望：从”算得对”到”算得快、算得省”
MZI 网格证明了光能做可编程矩阵乘法，但从实验室到实用还有几道坎：一是移相器精度和热串扰限制了矩阵的规模与保真度；二是热光调谐慢、功耗高，电光方案又难做；三是芯片损耗随级联层数累积，规模越大越吃亏。这些正是当前硅光可编程光计算研究的主战场。
参考资料
- Shen, Y., Harris, N. C., Skirlo, S., Prabhu, M., Baehr-Jones, T., Hochberg, M., Sun, X., Zhao, S., Larochelle, H., Englund, D., Soljačić, M. “Deep learning with coherent nanophotonic circuits.” Nature Photonics 11: 441–446 (2017). DOI 页面
- Reck, M., Zeilinger, A., Bernstein, H. J., Bertani, P. “Experimental realization of any discrete unitary operator.” Physical Review Letters 73(1): 58–61 (1994). DOI 页面
- Ashtiani, A., Geers, A. J., Aflatouni, F. “An on-chip photonic deep neural network for image classification.” Nature 606: 207–216 (2022). DOI 页面