贝塞尔光束原理：为什么一束光可以不扩散

引言：一束光为什么会散开

用激光笔往墙上照，光斑在几米外明显变大；用放大镜把太阳光聚成小点，离开焦点几毫米，光就散成一团。这是光的本性——衍射（diffraction）：波前在有限孔径边缘被”弯折”，传播得越远，横向分布越宽。

普通激光器输出的是高斯光束（Gaussian beam），它的束腰半径 $w_0$ 附近有一段近似平行的区域，长度叫瑞利距离（Rayleigh range） $z_R = \pi w_0^2 / \lambda$。超过瑞利距离后，光斑半径近似按直线增长，发散角约为 $\theta_d \approx \lambda / (\pi w_0)$。想让它传得远又不散开，只能把束腰做粗——但束腰一粗，焦点处的光强就上不去。这就是普通光束的”两难”。

有没有一种光，既能保持细小的中心光斑，又能在传播方向上几乎不散开？1987 年，物理学家 J. Durnin 从波动方程里找到了一类精确解：横向光强分布与传播距离完全无关。这类光后来被称为无衍射光束（nondiffracting beam），其中最典型的就是贝塞尔光束（Bessel beam）。

本文要回答的问题很具体：贝塞尔光束为什么”不扩散”？中心光斑能保持多细、多远？代价是什么？现在用什么器件产生它、用它做什么？

波动方程里的特解：J₀ 与”传播不变”

先看数学。自由空间中，单色光场的复振幅满足标量亥姆霍兹方程：

$$\nabla^2 E + k^2 E = 0$$

其中 $k = 2\pi / \lambda$ 是波数。在圆柱坐标 $(r, \varphi, z)$ 下分离变量，令横向振幅只依赖径向坐标 $r$、纵向只依赖传播距离 $z$，可以得到一族精确解：

$$E(r, z) = E_0 J_0(k_\rho r) e^{i k_z z}$$

这里 $J_0$ 是第一类零阶贝塞尔函数；$k_\rho$ 和 $k_z$ 分别是横向与纵向波数，满足

$$k_\rho^2 + k_z^2 = k^2$$

这个解最关键的性质是：光强

$$I(r) \propto |J_0(k_\rho r)|^2$$

只由径向坐标 $r$ 决定，与 $z$ 完全无关。也就是说，理想情况下这种光在任何传播位置上横向剖面都一模一样——既不变宽，也不衰减（无吸收时）。这就是”无衍射”的严格含义。

$J_0$ 长什么样？它像一条逐渐衰减的振荡曲线：中心最大，向外一圈圈起伏，第一个零点在 $x \approx 2.405$。因此中心主瓣（central lobe）的半径约为

$$r_0 \approx \frac{2.405}{k_\rho}$$

横向波数 $k_\rho$ 越大，中心光斑越细；但代价是旁瓣环更多，能量被分散到一圈圈同心环里。下面看贝塞尔光束横向剖面的样子：中心亮斑之外是一圈圈同心环，强度按 $J_0^2$ 向外起伏衰减。

图 1：贝塞尔光束的横向光强分布：中心亮斑与一圈圈同心环，径向强度按 $J_0^2$ 变化，中心主瓣半径由横向波数 $k_\rho$ 决定。

几何图像：把波矢放上一个圆锥面

为什么会有这种”传播不变”的解？把 $J_0$ 写成平面波的叠加（积分表示）：

$$J_0(k_\rho r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i k_\rho r \cos(\varphi - \theta)} d\theta$$

代回原式，贝塞尔光束就等价于无穷多平面波的叠加：每一个平面波的波矢横向分量为 $k_\rho (\cos\theta, \sin\theta)$、纵向分量都是 $k_z$。几何上，所有这些波矢都落在同一个圆锥面上——它们与 $z$ 轴的夹角相同，只是方位角 $\theta$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 之间连续变化。

这样的叠加为什么”不散”？

• 横向：各个平面波在横截面内互相干涉，合成 $J_0$ 的同心环图案；
• 纵向：所有平面波的 $k_z$ 相同，沿 $z$ 传播时相位演化完全一致，叠加图案只整体平移、不改变形状。

可以这样理解：无衍射的本质，是”横着干涉成环、纵着同相前进”。反过来看，Durnin 的构造思路也很自然——要让叠加图案不随 $z$ 改变，所有分量的纵向波数必须严格相同，这正是”所有波矢落在同一圆锥面上”的数学原因：圆锥面上每个波矢的 $k_z$ 相等，只是方位角不同。

Durnin 团队在 1987 年用实验验证了这个图像：让准直光先通过环形狭缝，再经过透镜，狭缝上不同位置的光经透镜后变成方向与光轴夹角相同、方位角不同的平面波，在透镜后方叠加成近似贝塞尔光束。结果中心光斑在约 1 m 的传播距离上几乎不变宽，第一次实验演示了无衍射光束。

图 2：贝塞尔光束的形成动画：一组横向排列、相位随位置线性变化的振荡源，其辐射在空间中叠加出中心亮斑与同心环，且图案沿传播方向保持不变。

理想与现实的差距：有限孔径与贝塞尔-高斯光束

严格的 $J_0$ 解要求横向无限延伸，携带无限能量——现实中不可能做到。任何有限孔径的装置（环形狭缝、轴锥、全息片）都只能产生有限范围内的锥面波叠加，因此只能在有限的无衍射距离内保持剖面不变；超过这段距离，外围锥面波先后离开光轴，中心光斑开始衰减和展宽。

最常用的产生工具是轴锥（axicon）：一块锥形玻璃透镜。平行光穿过轴锥后，各处的光线被折向同一个锥角 $\beta$，在锥顶附近的重叠区内相干叠加，形成近似贝塞尔光束。设入射光束半径为 $R$，则无衍射距离约为

$$z_{\max} \approx \frac{R}{\tan \beta}$$

入射光斑越大、锥角越小，这段”准无衍射”区域越长（小角度下 $\tan\beta \approx \beta$）。

更贴近实际的是贝塞尔-高斯光束（Bessel-Gauss beam）：横向仍按 $J_0$ 变化，但整体乘上一个高斯包络，能量有限。它在无衍射距离内近似保持贝塞尔剖面，超过后平滑过渡为普通发散光束。这个解析解由 Gori 等人在 1987 年给出，是”现实版贝塞尔光束”的标准模型。

还值得强调一点：贝塞尔光束的大部分能量其实分布在旁瓣圆环里，中心主瓣只占一小部分。想要更细的中心光斑，就要用更大的 $k_\rho$，代价是旁瓣更多、能量利用率更低——细光斑从来不是免费的。

怎么产生：环形狭缝、轴锥、全息与超表面

产生贝塞尔光束的方案大致有四类：

1. 环形狭缝 + 透镜：Durnin 原始实验的方案，原理最直接，但大部分能量被狭缝挡住，效率低；
2. 轴锥：结构简单、效率高，是实验室和工业中最常用的方案；
3. 计算全息 / 空间光调制器：灵活，可随时改变锥角，还能产生高阶贝塞尔光束（横向带相位因子 $e^{il\varphi}$，可携带轨道角动量）；
4. 超表面（meta-axicon）：在极薄平面上用纳米结构实现锥面相位，相当于片上”轴锥”。例如有研究在硅波导上布置同心环形超表面，在 1.5 μm 光通信波长产生非衍射距离约 500 μm 的贝塞尔光束，辐射效率超过 80%，说明贝塞尔光束可以集成到光子芯片上产生。

图 3：轴锥把入射高斯光束转换为贝塞尔光束：锥面折射使光线以相同锥角向轴会聚，在重叠区形成中心亮斑与同心环的无衍射剖面。

从左到右读这张示意图，可以看清轴锥工作的四个区域：最左侧是入射光束区，一束直径有限的（高斯）光进入轴锥，为后续干涉提供能量；中间的锥形元件就是轴锥，它把入射光折向同一锥角，等效于把所有平面波矢放到同一个圆锥面上；轴锥右方、靠近光轴的一段是无衍射区（贝塞尔区），来自锥面不同位置的波在这里交叠干涉，形成中心亮斑与同心环的横向剖面，并在约 $z_{\max} \approx R / \tan\beta$ 的距离内保持不变；再往右超出这段区域后，锥面波不再向轴心补充，中心光斑开始衰减，横向剖面逐渐退化为环形分布并像普通光束一样扩散。

自愈：挡住之后为什么会”复活”

贝塞尔光束还有一个反直觉的性质：自愈（self-healing）。把一个小障碍物放在光束中心，紧贴障碍物后方的剖面确实被破坏；但再传播一段距离，中心光斑又会重新出现，仿佛光束”复活”了。

原因是锥形波矢分布。障碍物只挡住了中心附近的一部分波矢，而分布在锥面外围的波矢方向并不平行于 $z$ 轴——它们绕过障碍物之后继续向光轴会聚，重新填充被遮挡的”阴影”区域。从波动光学的角度看，自愈是锥面波矢集合在遮挡后重新于轴心相长干涉的必然结果：只要外围波矢仍然完整，横向干涉图案就会在后方逐步重建。恢复得快慢与障碍物尺寸和横向波数 $k_\rho$ 有关：障碍物越小、$k_\rho$ 越大（锥角越大），恢复越快。正因如此，贝塞尔光束在存在遮挡的场景中特别有吸引力。

图 4：贝塞尔光束的自愈示意：中心被障碍物遮挡后，下游重新形成中心亮斑与完整的干涉图案。

应用：光镊、加工、光片显微与通信

1. 光镊：贝塞尔光束的中心光斑沿轴向又细又长，可以同时捕获轴线上多个粒子，比单焦点光镊更灵活，也适合构建沿轴分布的光势阱阵列；
2. 激光微加工：长焦深加上锥形能量沉积，适合在透明材料内部切割和钻孔，对样品位置误差不敏感；
3. 光片显微：把高斯光片换成扫描贝塞尔光束，照明深度显著延长，配合结构照明可实现快速、各向同性的三维成像，特别适合活细胞等生物样品的长时间观察；
4. 自由空间光通信：自愈特性让光束对遮挡有一定容忍度，锥面波矢分布也天然分散了单点遮挡的影响。

高斯、贝塞尔与涡旋光束：一张表看清差别

表 1：高斯光束、贝塞尔光束与涡旋光束（高阶 LG 模）的关键对比。

对比项	高斯光束	贝塞尔光束（$J_0$）	涡旋光束（LG，$l \neq 0$）
横向剖面	单瓣光滑亮斑	中心亮斑 + 同心环	中心暗环（”甜甜圈”）
传播行为	必然发散，受瑞利距离限制	理想无衍射，中心不展宽	同样受衍射限制，会发散
中心光斑	由束腰 $w_0$ 决定	主瓣半径约 $2.405 / k_\rho$	暗环半径随拓扑荷 $l$ 增大
能量	有限	理想情况需无限能量	有限
典型用途	激光加工、通信、泵浦	长焦深、光镊、光片显微	涡旋光通信、超分辨成像

小结

贝塞尔光束的”不扩散”来自一个精确的数学结构：所有平面波矢站在同一个圆锥面上，横向干涉成 $J_0$、纵向相位一致，所以剖面随传播不变。现实中用轴锥、全息或超表面在有限距离内近似实现；代价是中心光斑越细、旁瓣能量越多。理解了这条”锥面波”主线，也就理解了长焦深光场设计、贝塞尔光镊和光片显微这些应用背后的共同物理。

参考资料

1. Durnin, J. (1987). Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory. Journal of the Optical Society of America A, 4(4), 651–654. https://doi.org/10.1364/JOSAA.4.000651
2. Durnin, J., Miceli, J. J., & Eberly, J. H. (1987). Diffraction-free beams. Physical Review Letters, 58(15), 1499–1501. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.58.1499
3. Gori, F., Guattari, G., & Padovani, C. (1987). Bessel-Gauss beams. Optics Communications, 64(6), 491–495. https://doi.org/10.1016/0030-4018(87)90276-8
4. McGloin, D., & Dholakia, K. (2005). Bessel beams: Diffraction in a new light. Contemporary Physics, 46(1), 15–28. https://doi.org/10.1080/00107510500044416
5. Bena Optics. Axicon lens and its applications in generating annular beams and non-diffracting Bessel beams. https://www.benaoptics.com/axicon-lens-and-its-applications-in-generating-various-annular-beams.html
6. Planchon, T. A., et al. (2011). Rapid three-dimensional isotropic imaging of living cells using Bessel beam plane illumination. Nature Methods, 8(5), 417–423. https://doi.org/10.1038/nmeth.1586
7. Aiello, A., Vallone, G., Marocco, E., et al. (2015). Wave-optics description of self-healing mechanism in Bessel beams. Physical Review A, 91, 023822. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.91.023822
8. Analysis of Bessel Beam Generation Using MetaMaterials in Photonic Integrated Circuits. arXiv:2406.05751. https://arxiv.org/abs/2406.05751