光谱仪的实际分辨率：仪器线型、狭缝像与像元采样

一句话结论：实际分辨率由狭缝像、衍射、像差和像元卷积出的线型宽度决定；像元间隔只是采样刻度，双线能否分开要看线型与判据。

钠灯亮着的时候，肉眼看到的是一条黄线。把它的光送进光谱仪，记录到的可能仍是一条略胖的黄线，也可能是两条挨得很近的峰；换一台仪器，两条峰还可能各自再宽一些。谱线并没有变，变的是仪器把一条无限窄的谱线抹开的方式。

参数表上的数字很容易让人把几件事混在一起。有的仪器写“分辨率 0.07 nm”，这个数常常只是相邻像元中心之间的波长差；有的写“\(R=30000\)”，那只是光栅衍射允许的上限；还有的写“半高宽 0.17 nm”，那才是这台仪器记录一条窄线时实际呈现的宽度。三个数字都可能出现在同一台仪器的资料里，却分别站在测量链的不同位置。

这篇文章要回答一件事：一台光栅光谱仪记录到的谱线有多宽，由哪些环节决定；用钠 D 双线测量时，怎样判断“分开了”，又怎样判断“量准了”。为了把数字落到实处，下面用一台具体的 Czerny-Turner（切尔尼-特纳）光谱仪做算例：1200 线/mm 光栅，入射角 \(25^\circ\)，准直焦距 100 mm，聚焦焦距 150 mm，20 µm 入射狭缝，2048 个 13 µm 像元，工作波长取钠双线附近的 589.3 nm。

从一条黄线到两条黄线：双线测量测的是什么

钠的黄色双线来自两条很接近的原子跃迁。按美国国家标准与技术研究院（NIST）的谱线表，D2 线在 588.9950 nm，D1 线在 589.5924 nm，间隔 0.5974 nm。这个间隔约为中心波长的千分之一，肉眼或低分辨率光谱仪很容易把它们看成一条线。图 1 是一张可见光钠光谱：上排是 400–700 nm 的全谱，下排把 589 nm 附近放大，两条黄线才分开。

图 1：钠的可见光谱。(a) 400–700 nm 全谱，589 nm 附近的黄线在全谱中只占很窄一段；(b) 583–596 nm 局部放大，两条黄线分别位于 589.0 nm 和 589.6 nm 附近，间隔约 0.6 nm。

一台光谱仪并不直接测量“波长”。它让光经过入射狭缝、准直镜、光栅和聚焦镜，把不同波长落到探测器平面的不同位置，再读出每个像元上的光强。横轴的波长刻度是后来加上去的：先由光栅方程和焦距建立位置与波长的关系，再用已知谱线校准。探测器真正记录的，是一条沿位置分布的光强曲线。

如果入射光只有一条无限窄的谱线，理想仪器应该记录到一个无限窄的峰。实际记录到的却是一个有宽度的函数，这个函数叫仪器线型（instrument line shape，ILS）。设真实光谱为 \(B(\lambda)\)，仪器线型为 \(P(\lambda)\)，记录光谱为 \(F(\lambda)\)，忽略噪声时有

星号表示卷积。真实光谱里每一条谱线，都会被同一个 \(P(\lambda)\) 抹开，再叠加起来。两条靠得很近的谱线，记录谱就是两个平移后的 \(P\) 相加；它们能不能被看成两个峰，取决于两个 \(P\) 重叠了多少。

这就分出两个不同的问题。第一个是能不能分开：两个 \(P\) 的间隔足够大，中间出现明显的谷，读者能看到两个峰。第二个是能不能量准：即使看到了两个峰，峰的位置也会被彼此的重叠向中间拉，直接读峰位会把间隔读小；峰高也会互相叠加，不能直接当成谱线强度。双线测量同时涉及这两个问题，而它们都由同一个 \(P\) 决定。

仪器线型：一条谱线被哪四段“抹开”

把 \(P(\lambda)\) 拆开，可以看到四段来源：入射狭缝的像、光栅衍射、光学系统的像差、探测器的像元。四段各自的宽度和形状不同，卷积之后才得到记录到的线型。下面逐段估算，再把它们合起来。

狭缝像：几何宽度与余弦因子

入射狭缝不是一条几何线，它有宽度。准直镜把狭缝上的每一点变成一束方向略有不同的平行光，聚焦镜再把某一方向的平行光会聚成一个点。于是焦平面上的狭缝像有一定宽度。对均匀照明的矩形狭缝，几何像也是一个矩形，宽度为

其中 \(w\) 是入射狭缝宽度，\(f_1\)、\(f_2\) 是准直和聚焦焦距，\(\alpha\)、\(\beta\) 是光栅的入射角和衍射角。最后那个余弦比常被忽略：在本文的 589.3 nm、\(25^\circ\) 入射下，\(\beta=16.531^\circ\)，\(\cos\alpha/\cos\beta=0.945\)，横向放大率是 \(1.5\times0.945=1.418\)。20 µm 的狭缝因此在焦平面上形成约 28.4 µm 的像。

把几何宽度换算成波长宽度，要乘倒线色散。本文的设计在 589.3 nm 附近的倒线色散为

于是 28.4 µm 的狭缝像对应 \(0.0284\times5.326\approx0.151\) nm。这个宽度是后文实际线宽的主要来源。

衍射：\(\mathrm{sinc}^2\) 核与 \(R=mN\)

即使狭缝无限窄，光栅的有限照明宽度也会让谱线展宽。被照明的刻线数为 \(N\)，第 \(m\) 级衍射的主极大角宽度约为 \(\lambda/(W\cos\beta)\)，其中 \(W\) 是照明宽度；换算到波长，第一极小出现在

本文用 25 mm 照明宽度、1200 线/mm 的光栅，\(N=25\times1200=30000\)，一级的 \(\Delta\lambda_\text{R}=589.3/30000=0.0196\) nm。对应的线型在主峰附近近似为 \(\mathrm{sinc}^2\) 形，半高全宽（full width at half maximum，FWHM）为 \(0.8859\times0.0196=0.0174\) nm。它比狭缝像窄得多，但它的翼部会延伸到主峰之外；当狭缝很窄时，这部分翼部就会显现出来。

\(R=mN=30000\) 常被写成“光栅的分辨本领”。这个数没有错，但它描述的是衍射这一段的极限：它假设狭缝无限窄、光学系统没有像差、探测器能连续记录。实际仪器只要有一段比它宽，\(R=mN\) 就不再是整台仪器的分辨率。

像差：不能被几何放大率吸收的部分

Czerny-Turner 光路用两面离轴凹面镜，离轴使用会带来像散、彗差、球差和离焦。它们不再是一个规则的矩形或 \(\mathrm{sinc}^2\)：彗差会让线型一侧拖出尾巴，像散会让狭缝像在垂直方向拉长，球差和离焦会让边缘光线落到主峰之外。这些贡献不能靠“焦距比”或“余弦比”算出来，只能由具体光路设计或实测确定。

像差的具体大小取决于光路设计和装调，不能只靠焦距比算出来。为了让后文的数字有一个明确的量级，下面把像差近似成一个高斯核，取半高全宽 0.10 nm，并在所有涉及它的地方标明“假设”。这个值只为展示像差怎样进入总宽度；真实仪器应当用一条远窄于线型的单模激光或低压气体灯线实测线型，不能把 0.10 nm 当成规格。

像元：矩形足迹与离散采样

探测器把光强记录在一排有限大小的像元上。每个像元在色散方向上有一段感光宽度，相当于对连续光谱再做一次矩形卷积；相邻像元中心之间又有固定间距，记录结果只在这些中心点上取值。前者是像元足迹，后者是采样间隔，两件事不能混。

本文的像元间距是 13 µm，对应 \(0.013\times5.326=0.0692\) nm。像元足迹由感光区宽度决定，通常小于或接近像元间距；这里按 13 µm 的满填充估算，给出足迹宽度的上限。它参与卷积，会把线型的底部再撑宽一点。采样间隔则不改变连续线型的宽度，只决定我们用多密的点去记录它。

四段卷积之后

把狭缝像、像元足迹、衍射核和像差核依次卷积，得到总仪器线型。对两个宽度分别为 \(a\)、\(b\) 的矩形，卷积结果的半高全宽等于两者中较大的一个，峰底宽度等于 \(a+b\)；本文的狭缝像 0.151 nm 大于像元 0.0692 nm，所以狭缝主导半高宽，但像元会把底部从 0.151 nm 撑到约 0.220 nm。再叠上衍射和像差，半高宽还会增加；像差项越大，增加越明显。

数值卷积的结果是：不计像差时 FWHM 为 0.152 nm；计入 0.10 nm 的像差假设后为 0.167 nm。图 2(a) 画出四段核，图 2(b) 画出总线和一条同 FWHM 的高斯作对照；对数插图显示，高斯的翼部比总线低得多，而翼部正是强线旁边弱线容易被淹没的地方。

图 2：(a) 狭缝像（0.151 nm）、像元足迹（0.0692 nm）、衍射 \(\mathrm{sinc}^2\)（第一零点 0.0196 nm）和像差假设（0.10 nm）四段核；(b) 四段卷积后的总仪器线型，FWHM 0.167 nm，峰底宽约 0.220 nm；虚线是同 FWHM 的高斯，右上角对数插图对比两者的翼部。

表 1：本文算例中各段线型宽度及其来源。像差一行是假设值，不是对具体仪器的预测。

这里要说明一个容易被忽略的条件：上面的卷积假设线型在 589 nm 附近不随波长改变。实际仪器的焦平面可能倾斜，色散和放大率也会沿阵列缓慢变化，所以严格来说，\(P(\lambda)\) 是局部线型；在整个 600–700 nm 范围内，狭缝像宽度和像元对应的波长间隔都会变。下面在钠双线附近不到 1 nm 的范围内使用同一个 \(P\)，这个近似是合理的；跨整个波段做定量标定时，必须用多条已知谱线分别测线型。

三个“分辨率”：理想极限、线型宽度与采样刻度

把前面的数字收拢，会发现“分辨率”至少有三种常见口径，它们回答的问题并不相同。

第一种是光栅的衍射极限。本文的光栅照明宽度 25 mm、刻线密度 1200 线/mm、一级工作，\(R=mN=30000\)，对应 \(\Delta\lambda=589.3/30000=0.0196\) nm。它假设狭缝无限窄、光学系统没有像差、探测器连续记录。满足这三个条件时，两条谱线相距 0.0196 nm 就刚好达到瑞利判据。它描述的是光栅本身能把光“分”到多细，不是整台仪器的实际指标。

第二种是仪器线型的半高全宽。把 20 µm 狭缝、13 µm 像元和 0.10 nm 的像差假设一起卷积，得到 FWHM 0.1667 nm，对应 \(R=589.3/0.1667\approx3536\)。这个数只有理想值的约 1/8.5，因为它把狭缝像、像差和像元足迹都算进去了。它更接近“这台仪器记录一条窄线时，峰有多宽”。

第三种是像元间隔。13 µm 像元对应 0.06924 nm（约 0.0692 nm）。如果把它当成 \(\Delta\lambda\)，会得到 \(R=589.3/0.06924\approx8511\)，看起来比 3536 好得多。但这个数只说明相邻采样点相隔多远；一条 0.167 nm 宽的线，用 0.069 nm 的间隔去采样，只会得到两三个点跨过半高宽，线的宽度并没有变窄。

表 2：同一个设计下几种“分辨率”口径的对比。表中的 R 都由 \(\lambda/\Delta\lambda\) 算出，但 \(\Delta\lambda\) 的物理含义不同。

表 2 里最容易被误用的是最后一行。像元间隔决定了横轴刻度有多细，也影响峰位能被插值到多准；它不决定线型有多宽。把像元从 13 µm 换成 6.5 µm，同一条 0.167 nm 的线会得到更多采样点，峰位估计可能更稳，但两个相距 0.1 nm 的峰仍然会叠在一起。

瑞利判据本身也有一个容易被忽略的前提：它要求线型有明确的“第一个极小”。衍射受限的 \(\mathrm{sinc}^2\) 线型有这样一个极小，所以 \(\Delta\lambda=\lambda/(mN)\) 可以用；但本文的狭缝像宽度 0.151 nm 远大于衍射核的 0.0196 nm，总线型接近梯形，第一极小被狭缝和像元填掉了。这时再套用 0.0196 nm，就把“衍射允许的极限”当成了“这台仪器能分开的间隔”。

工程上更常用的是一个可测量的谷值判据：两条等强谱线叠加后，中点谷值 \(V\) 降到峰值 \(P\) 的 80%，即 \(1-V/P=0.2\)，就算“看得出两个峰”。对本文的基线线型，这个判据对应的间隔是 0.196 nm，约为 FWHM 的 1.18 倍。把狭缝从 20 µm 加到 75 µm，线型从“狭缝像主导的梯形”变得更接近矩形，20% 谷值对应的间隔会移到约 1.05 倍 FWHM。同一个 20% 判据，因为线型形状变了，换算成 FWHM 的倍数也跟着变；报分辨率时如果不写清线型和判据，数字就没法比较。

这也是本文要强调的区别：理想 \(R=mN\)、仪器线型 FWHM、像元间隔、20% 谷值间隔，分别描述衍射上限、线型宽度、采样刻度和工程判据。 它们可以同时出现在一台仪器的参数表里，但不能互相替代。实际写规格时，至少要说清用的是哪一个，以及对应的狭缝、像元和信噪比条件。

双线测量：从“看见两个峰”到“量准间隔”

有了线型，双线测量就可以按步骤做，而不是盯着屏幕上的两个峰读位置。下面以钠 D 双线为例，给出一个可复算的流程。

第一步，测线型。用一条远窄于待测线型的单模激光，或一条低压气体灯的孤立谱线，保持与双线测量相同的狭缝、光栅和像元设置，记录单线剖面。若只能在邻近波长测，要说明色散和放大率随波长的变化；在 589 nm 附近 1 nm 的范围内，这个变化很小，但仍应记录测量波长。

第二步，读线型。从单线剖面读出 FWHM、峰底宽度和翼部形状，并用质心或拟合确定峰位落在像元中心还是像元边界附近。这个“相位”会影响实测峰高和峰宽，后文会看到它在欠采样时尤其明显。

第三步，测双线。保持同样的设置记录钠双线，保存原始像元读数，不要只保存软件标出的峰位。软件找峰通常只做局部极大值搜索，遇到两个重叠的峰时，峰位会被重叠的翼部拉偏。

第四步，算判据。对每条谱线附近的基线做扣除，计算中点谷值 \(V\) 和两个峰的平均高度 \(P\)，得到谷值深度 \(1-V/P\)；再用二次插值或拟合求两个峰的位置和间隔。把间隔除以线型 FWHM，得到“间隔占几个线宽”；把 FWHM 除以像元间隔，得到“每个线宽有几个采样点”。这两个比值一起看，才能判断测到的是什么。

第五步，变狭缝复测。至少取两三个狭缝宽度，观察谷值深度和测得间隔怎样变化。如果间隔随狭缝变宽而明显变小，说明已经进入重叠区，读出的间隔有系统偏差；如果谷值很快消失，说明已经到了这台仪器的分辨边界。

表 3：钠 D 双线（真实间隔 0.5974 nm）在不同入射狭缝下的测量结果。像元固定 13 µm，像差核按 0.10 nm 假设，数值为 31 个像元相位的平均；75.5 µm 行由 74 与 76 µm 的结果线性插值到谷值 0.20。

图 3(a) 把 20、50、75 和 100 µm 四组剖面画在一起，虚线是两条谱线的真实位置，圆点是 13 µm 像元的采样点。20 µm 时两个峰分得很开，采样点足够描述峰形；50 µm 时谷仍然很深，但两个峰已经明显变宽；75 µm 时谷值降到峰高的约四分之三，两个峰的位置开始向内靠；100 µm 时只剩一个包，两个峰完全合并。

图 3：(a) 20、50、75、100 µm 狭缝下的钠双线剖面，圆点为 13 µm 像元采样点，灰色虚线为 588.995 nm 和 589.592 nm；(b) 谷值深度（绿）与测得间隔偏差（红）随狭缝宽度的变化，虚线为 20% 谷值判据，点线标出约 75 µm 的临界位置；(c) 100 µm 狭缝下，像元从 13 µm 缩到 6.5 µm 和 3.25 µm，双线仍然只有一个包。

图 3(b) 给出了两个量随狭缝宽度的变化。谷值深度从 20 µm 时的接近 1，降到 75 µm 附近的约 0.2，再到 80 µm 时的接近 0；测得间隔的偏差则从接近 0，逐渐变成 −9.6%、−18.9%，最后因为只剩一个峰而无法定义。在 20% 判据附近，就是“刚好能看出两个峰”的位置，但这时读出的间隔已经比真实值小了约 19%。

这个偏差来自峰位被重叠的翼部拉动，不是波长标定错了。两条谱线各自有一条向内侧延伸的翼部；在另一个峰的附近，这条翼部会叠加到对方的信号上，使对方靠内侧的那一边更高，局部极大值因此向中间移动。间隔越小、翼部越强，移动越大。即使像元—波长映射完全准确，直接用峰位相减仍然会低估间隔。

要减小这个偏差，可以用已知线型做拟合：把记录谱写成两个平移后的 \(P\) 加上一条慢变基线，让拟合同时给出两个峰的位置、高度和宽度，而不是先找峰再相减。拟合能把重叠的影响放进模型里，但它在接近分辨极限时会变得病态：两个峰的间隔和宽度互相补偿，信噪比不够时，拟合结果对初值和噪声都很敏感。这时应该报告间隔的置信区间，而不是一个看起来很精确的数字。

采样不足：峰位会随像元相位漂移

双线测量的另一个误差来源是采样。像元只在中心点取值，一条线落在像元中心还是落在两个像元的边界上，读出的峰高和峰宽会不同。线型越窄、每个 FWHM 占的像元越少，这种差异越大。

在本文的设计里，20 µm 狭缝的 FWHM 是 0.167 nm，13 µm 像元对应 0.0692 nm，每个 FWHM 有 2.41 个像元，刚超过奈奎斯特要求的 2 个。把像元相位从 0 扫到一个周期，实测 FWHM 平均 0.173 nm，相位间标准差 0.0015 nm；连续线型的 0.167 nm 被“测胖”了约 4%，但还比较稳定。

把狭缝缩到 10 µm，连续 FWHM 降到 0.127 nm，每个 FWHM 只剩 1.84 个像元，低于奈奎斯特的 2 个。实测 FWHM 平均 0.138 nm，比连续值大约 8%，相位间标准差 0.0098 nm。也就是说，缩小狭缝确实让光学线型变窄了，但采样不足会把测到的峰重新“抹胖”，而且峰宽会随谱线落在哪个位置而变。如果只报告实测 FWHM，会把线宽报大，从而低估这台仪器在 10 µm 狭缝下的实际分辨能力。

反过来，像元也不是越细越好。把 100 µm 狭缝下的像元从 13 µm 换成 6.5 µm、3.25 µm，双线剖面仍然只有一个包，谷值深度都是 0（图 3(c)）。像元缩小 4 倍，只让同一个 0.756 nm 宽的线型多了几倍采样点，没有改变两个峰重叠的事实。这个反例说明：采样间隔会影响“测得准不准”，但不能决定“分不分得开”；后者由线型宽度和形状决定。

采样不足也不总是立刻把双线合并。把 50 µm 狭缝配 52 µm 像元，每个 FWHM 只有 1.39 个像元，低于奈奎斯特，但两个峰仍然可见，谷值深度约 0.50；代价是测得间隔偏小 4.8%，相位间标准差 0.033 nm。欠采样先损失的是峰位和峰宽的精度，然后才是双线的可分性。把“低于奈奎斯特”直接等同于“分不开”，同样是把采样和分辨率混为一谈。

把这几层分开看：分辨率回答“两个峰能不能分开”，光谱重建误差回答“分开之后，峰位、间隔和强度能不能还原”。重叠导致的峰位内拉、欠采样导致的峰宽波动、拟合模型与真实线型不匹配，都属于重建误差；它们可以在分辨率不变的情况下改变测量结果。

把测量做完整：一份可复算的检查表

前面的关系可以收成一张检查表。顺序是先确认线型，再确认采样，最后才报分辨率；反过来做，很容易拿一个像元间隔或一个 \(mN\) 当结论。

表 4：光谱分辨率测量与报告时应记录的项目。

把本文的算例按这张表填一遍，得到表 5。它是一份完整的测量记录，而不是一个孤立的“分辨率”数字。

表 5：本文算例的测量记录示例。像差一行是假设值，实际仪器应替换为实测线型。

表 5 里最值得停留的是“采样比”和“分辨本领”两行。2.41 像元/FWHM 说明这条线刚过奈奎斯特下限，峰形可以重建，但不算宽裕；如果目标是稳定地测峰位，3–6 像元/FWHM 更合适。把狭缝从 20 µm 开到 30 µm，FWHM 变成 0.230 nm，采样比升到 3.32，峰位更稳，代价是线宽增加约 38%。这是一次明确的取舍：用分辨率换采样稳定性，换来的是更可靠的峰位，而不是更高的分辨本领。

反过来，如果目标只是“看见钠双线”，20 µm 狭缝已经足够：间隔是 FWHM 的 3.58 倍，谷值 0.995，测得间隔与真值差不到 0.1%。如果把狭缝开到 75.5 µm，谷值降到 0.20，刚好卡在 20% 判据上，测得间隔却偏小 18.9%。同一个“能看见两个峰”的判断，在两种条件下的测量质量完全不同；报告时把谷值和偏差一起写出来，读者才知道这个“分开”有多可靠。

还有几个边界需要在使用这份检查表时说明。第一，卷积模型假设线型在测量范围内不变；跨几百纳米测量时，狭缝像宽度、倒线色散和像差都会变，应该在波段内多个波长分别测线型。第二，20% 谷值判据假设两条线等强、噪声可忽略；如果一条线明显更弱，或者噪声把谷填平，判据要相应调整，不能直接套用 0.196 nm。第三，像差核在本文里是对称高斯，真实 Czerny-Turner 的彗差和像散常使线型不对称；不对称的翼部会让峰位偏向一侧，用对称核拟合会留下系统残差。第四，像元足迹按满填充估算，实际感光区可能更窄，峰底宽度会略小于 0.220 nm，但 FWHM 仍由 0.151 nm 的狭缝像主导。

把这几件事分开之后，光谱图上的一个峰就不再是“一个波长”，而是一条有宽度、有采样、有判据的测量结果。同一台仪器，按 FWHM 报 \(R=3536\)，按 20% 谷值报 \(R=3007\)，按像元间隔则会报出 8511；前两个附带判据的数字才是对仪器分辨能力的陈述，最后一个只是采样刻度。看到“分辨率 0.07 nm”或“\(R=30000\)”时，先确认它说的是哪一层，再判断它能不能用于自己的比较。

参考资料

1. 4.4 Diffraction Gratings — University Physics Volume 3（OpenStax, Rice University，CC BY 4.0）
2. 4.5 Circular Apertures and Resolution — University Physics Volume 3（OpenStax, Rice University，CC BY 4.0）
3. Dispersion and spectral resolution — PHY217 Instruments: Spectrographs（Vik Dhillon, University of Sheffield）
4. The Optics of Spectroscopy — A Tutorial（J. M. Lerner、A. Thevenon）
5. Spectrometers — RP Photonics Encyclopedia（Dr. Rüdiger Paschotta）
6. Atomic Data for Sodium (Na) — NIST Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data
7. File:Sodium spectrum visible.png — Wikimedia Commons（McZusatz，CC0 1.0）